2.3. Математична обробка результатів досліджень

Статистичне опрацювання результатів проведених досліджень проводиться за стандартною методикою, що складається з таких етапів:

1) визначення середнього значення результатів (середнього арифметичного ):

(2.3)

де n - кількість вимірювань;

2) визначення відхилення від середнього значення для кожного результату (абсолютна помилка вимірювання Δу_k):

(2.4)

3) визначення дисперсії S²_(yk) за формулою:

(2.5)

4) визначення стандартного відхилення окремого вимірювання:

(2.6)

і стандартного відхилення середнього результату:

(2.7)

5) перевірка надійності отриманих результатів за критерієм Стьюдента t_α для проведеної кількості дослідів n за вибраної довірчої імовірності α:

(2.8)

Знаходять значення t_α і, використовуючи значення S_(y), розраховують помилку середнього результату:

(2.9)

6) встановлення інтервалу, в якому з довірчою імовірністю α буде знаходитись середній результат:

(2.10)

7) визначення відносної помилки вимірювання:

(2.11)

8. якщо значення ε_α відносно y велике, то результати перевіряють на наявність грубих помилок. Після цього проводиться повторне опрацювання за тією самою схемою без виключених даних [11].

Метод найменших квадратів:

Метод найменших квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. Метод запропонували відомі математики К. Гаусс і А. Лежандр.

Розглянемо суть методу найменших квадратів.

Нехай емпірична формула має вигляд

, (2.12)

де , , …, ─ невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів , за яких крива (2.12) якомога ближче проходитиме до всіх точок , , …, , знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (2.12). Відхилення від підстановки координат у рівняння (2.12) дорівнюватимуть величинам .

За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів ті, для яких сума квадратів відхилень

(2.13)

дослідних даних від обчислених за емпіричною формулою (2.12) найменша. Звідси випливає, що величина (2.13), яка є функцією від коефіцієнтів , повинна мати мінімум. Необхідна умов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні мають дорівнювати нулю, тобто

, , …, . (2.14)

Диференціюючи вираз (2.13) по невідомих параметрах , матимемо відносно них систему рівнянь:

(2.15)

Система (2.15) називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і буде шуканим [33].