2.2.1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо, чтобы препятствия были соизмеримы с длиной световой волны.

Согласно принципу Гюйгенса каждая точка пространства, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, огибающая которых задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Волновой фронт − геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, (интенсивности) волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн. Каждый элемент волновой поверхности S (рис. 8) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS.

 

Рисунок 8 – Образование вторичной волны

Амплитуда этой вторичной волны убывает с расстоянием r от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1/r. Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку наблюдения Р приходит элементарное колебание: , (10)

где (ωt + α₀) − фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k − волновое число, r − расстояние от элемента поверхности dS до точки P, в которую приходит колебание. Множитель а₀ определяется амплитудой светового колебания в месте наложения элемента dS. Коэффициент K зависит от угла φ между нормалью к площадке dS и направлением на точку Р. При φ = 0 этот коэффициент максимален, а при φ/2 он равен нулю.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (12), взятых для всей поверхности S:

(11)

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля

2.2.2. Зоны Френеля

Дифракция Френеля играет основную роль в волновой теории, т.к. вопреки принципу Гюйгенса и на основе принципа Гюйгенса - Френеля, объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля).

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся на расстоянии l+/2 от точки M (рис. 9). Точки сферы S, находящиеся на расстояниях l+2/2, l+3/2, и т.д. от точки M, образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.

Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M △ = /2.

Рисунок 9 – Зоны Френеля

Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:

А = А₁-А₂+А₃-А₄+…+А_i, (12)

где A – амплитуда результирующего колебания, А_i – амплитуда колебаний, возбуждаемая i-й зоной Френеля. Величина А_i зависит от площади S_i зоны и угла _i между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M.

Площадь одной зоны:

. (13)

Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i. Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы. В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол _i и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M, т.е. уменьшается амплитуда А_i . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M:

А₁>А₂>А₃>…>А_i>… . (14)

Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M, очень велико: при R = l = 0,1 м,  = 5*10^-7 м = 500 нм, число зон N ≈ 3*10⁵ , а радиус первой зоны r₁ ≈ 0,16 мм. Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон, примерно равны.

Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания   от некоторой m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

 . (15)

Тогда выражение (15) можно записать в виде

(16)

Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда   . Интенсивность излучения JA² . Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной, а интенсивность J = J₁/4 (17) . Так как радиус центральной зоны мал (r₁ ≈ 0,16 мм.), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно.

Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. J = J₁/4). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.

Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде. Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец. Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М, подобно собирающей линзе.