1.5.1Альтернатива двоичной системе счисления
В первых компьютерах не использовались возможности двоичного представления. Вопрос, как числа должны быть представлены в вычислительных машинах, активно обсуждался в конце 30-х и в 40-х годах XX века. Одним из возможных способов представления была двоично-пятеричная система, в которой каждая цифра в десятичной записи была закодирована семибитной последовательностью, представляющей два числа, сумма которых равнялась числу, представляемому исходной цифрой в десятичной системе. Старшие (крайние левые) два бита определяют, является ли первое слагаемое нулем (комбинация 01) или пятеркой (комбинация 10). Оставшиеся 5 битов представляют числа 4, 3, 2, 1 и 0. Они обязательно содержат четыре нуля и одну единицу. Единицу в том разряде, который представляет второе слагаемое. (Примеры: число 3 имеет представление 0101000, а число 7 — 1000100.) Именно эта система счисления использовалась в машине ENIAC. Другим способом была восьмеричная система счисления. В своей работе «Двоичные вычисления», которая появилась в 1936 году в Journal of the Institute of Actuaries, E. В. Филлипс писал: «Конечная цель состоит в том, чтобы убедить весь цивилизованный мир отказаться от десятичной системы счисления и вместо нее использовать восьмеричную систему счисления, перестать считать десятками и начать считать восьмерками».
1.5.2Дроби в двоичной системе счисления
При представлении дробей используется точка1, чтобы отделить целую часть от дробной части. Цифры слева от точки являются целой частью числа и записываются в двоичном представлении по принципу, изложенному выше. Цифры спра-на от точки являются дробной частью числа и записываются так же, как целые, с той лишь разницей, что каждой позиции в записи числа соответствует разряд, вес которого является дробным числом. То есть вес разряда, соответствующего первой позиции после точки, равен '/2> второй позиции — '/4> следующей — '/8 и т. д. Обратите внимание на то, что эта закономерность представляет собой лишь продолжение правила, сформулированного выше: при движении по записи числа влево вес разряда увеличивается в два раза. Для того чтобы получить десятичное представление дробного числа из его двоичной записи, нужно выполнить те же действия, что и в случае с целым числом: умножить значение каждой цифры на пес соответствующего разряда. Как перевести двоичное число 101.101 в десятичную дробь 55/8, показано на рис. 1.19.
Для сложения двух чисел также применяется методика, которая используется для целых чисел. То есть чтобы получить сумму двух дробных чисел, записываем числа одно под другим так, чтобы точки находились в одном столбце, и выполняем те же действия, как с целыми числами. Например, числа 10.011 и 100.11 в сумме дают 111.001: + 10.011 100.101 111.001
1.5.3Аналоговые и цифровые устройства
На заре развития компьютерных технологий обсуждался вопрос о том, какие технологии, цифровые или аналоговые, должны лежать в основе вычислительных устройств. В цифровых системах числовое значение представляется при помощи набора устройств, каждое из которых может хранить ограниченное число цифр (таких как 0 и 1). В аналоговых системах числовое значение представляется при помощи одного устройства, которое может хранить любое значение в широком диапазоне.
Сравним эти два подхода, используя в качестве примера ведра с водой. Для того чтобы воспроизвести цифровое устройство, представим, что пустое ведро означает 0, а полное — 1. Теперь мы можем использовать ряд ведер для хранения числового значения в двоичном представлении. И наоборот, мы можем имитировать аналоговое устройство, частично наполняя ведро до определенного уровня, который обозначает какое-нибудь числовое значение. На первый взгляд аналоговая система может показаться более точной, поскольку в ней не будет таких ошибок, свойственных цифровой системе, как усечение. Однако малейшее движение ведра повлечет за собой ошибки в определении уровня воды, в то время как для того, чтобы разница между пустым и полным ведром стала неясной, нужно вылить много воды. Следовательно, в цифровом устройстве возможность появления ошибки меньше, чем в аналоговом устройстве. Эта устойчивость цифровых систем является главной причиной того, что многие прикладные системы, первоначально основавшиеся на аналоговой технологии (такие как телефонная связь, запись звука и телевидение), переходят на цифровую технологию.