Завдання до задачі Задача 5.1 Об’єкт описується диференціальним рівнянням:

, (5.7)

де y(t) - вихідна координата об’єкта;

k - коефіцієнт передачі;

u(t) - керуючий вплив.

Знайти алгоритм керування, що переводить об’єкт з положення y(0)=y₀, y(0)=0 до рівноважного положення (y=0, y=0) за мінімальний час. На керування накладається обмеження:

Вихідні дані наведені в таблиці 5.1.

Таблиця 5.1

№ вар.	y0	k	№ вар.	y0	k	№ вар.	y0	k
1	-1.8	0.001	11	-2.9	0.002	21	-3.9	0.004
2	-1.9	0.0015	12	-3.0	0.0022	22	-4.0	0.0042
3	-2.0	0.0013	13	-3.2	0.0024	23	-1.7	0.0044
4	-2.2	0.0016	14	-3.1	0.0026	24	-1.6	0.0046
5	-2.3	0.0012	15	-3.3	0.0028	25	-1.5	0.0048
6	-2.4	0.0014	16	-3.4	0.003	26	-4.1	0.005
7	-2.5	0.0011	17	-3.5	0.0032	27	-4.2	0.0052
8	-2.7	0.0017	18	-3.6	0.0034	28	-4.3	0.0054
9	-2.8	0.0018	19	-3.7	0.0036	29	-4.4	0.0056
10	-2.6	0.0019	20	-3.8	0.0038	30	-1.4	0.0058

Приклад 5.1 Об’єкт описується диференціальним рівнянням:

, (5.8)

де y(t) – вихідна координата об’єкта;

u(t) – керуючий вплив;

Знайти алгоритм керування, що переводить об’єкт з положення y(0)=-1,5 y(0)=0 до рівноважного положення (y=0, y=0) за мінімальний час. На керування накладається обмеження:

Алгоритм розв’язування задачі містить такі етапи:

• визначити передавальну функцію об’єкта управління;

• побудувати структурну схему об’єкта;

• скласти математичний опис об’єкта у вигляді системи рівнянь, що приведені до нормального вигляду;

• визначити складові вектора =(₁, ₂, … _n), _i = y_i, i=1,2,…n;

• визначити складові вектора =(₁,₂, …_n);

• записати гамільтоніан H=;

• визначити умови максимуму H;

• виконати аналіз можливих алгоритмів управління.

Уводимо нові змінні: y = y₁; dy/dt = y₂.

Тоді рівняння (5.8) в операційній формі, тобто у зображеннях за Лапласом, має вигляд:

(5.9)

Після перетворень отримуємо передавальну функцію за Лапласом:

. (5.10)

Структурну схему об’єкта (рис. 5.2) можна подати у вигляді двох динамічних ланок, що з’єднані послідовно:

Рівняння ланок:

(5.11)

Запишемо рівняння у нормальному вигляді:

(5.12)

Тоді функція Гамільтона буде:

(5.13)

Спряжені рівняння мають вигляд:

(5.14)

Звідси знаходимо:

 ₁ = с₁; ₂ = - с₁t +c₂, (5.15)

де с₁, с₂ – сталі інтегрування.

Ф ункція Гамильтона лінійна відносно u(t), тому для досягнення максимуму необхідно, щоб ₂ і u(t) були одного знака, тобто

u = u_maxsign₂. (5.16)

Оскільки функція ₂ має один корінь t₁=c₂/c₁, керування u(t) має одну зміну знака (два інтервали керування).

Після закінчення керування (рис.5.3).

Оскільки система розімкнута, момент перемикання знаходимо методом стикування розв’язків диференціальних рівнянь. Отже, необхідно знайти моменти часу:

t₁ – момент зміни знака керування;

T = t₂ – закінчення керування.

У початковий момент часу (t=t₀=0) об’єкт знаходиться у точці В (рис. 5.3), тобто S(0) = -S₀ = y₁(0) = -1,5;

Кінцеве значення координат: S(t₂) = y₁(t₂)=0;

При цьому з рис. 5.3 видно, що перший інтервал керування є додатним (u = +u_max), а другий – від’ємним (u = -u_max).

Розв’язуємо диференціальне рівняння: тобто рівняння зі знакозмінною правою частиною. Характеристичне рівняння: s² = 0, тобто маємо два нульових кратних кореня s₁=s₂=0. Тоді розв’язок має вигляд:

(5.16)

де с₁ і с₂ – сталі інтегрування.

Після диференціювання отримуємо:

(5.17)

Запишемо рівняння (5.16) і (5.17) для різних моментів часу:

• для t = t₀ = 0 (початок першого інтервалу):

(5.18)

Звідси с₁₀ = 0, с₂₀ = y₁(0) = -1,5;

• для t = t₁ (кінець першого, початок другого інтервалу); оскільки функції безперервні, то можна виконати стикування розв’язків на межі першого і другого інтервалів:

(5.19)

Звідси отримуємо:

• для t = t₂ = T (кінець другого інтервалу):

(5.20)

Звідси

Дорівнюємо вирази для с₁₁ , а також для с₂₁. Тоді отримуємо відповідно:

або t₂ = T = 2t₁;

Після підстановки першого рівняння до другого отримаємо:

, або

Звідси знаходимо:

• момент перемикання керування:

• момент закінчення руху:

Задача 5.2 Визначити закон змінювання струму якоря двигуна постійного струму з незалежним збудженням, що забезпечує відпрацювання кутового переміщення ₀ протягом мінімального часу Т при статичному моменті М_с=0 і обмеженні струму якоря |i|  і_max.

Вихідні дані наведено у таблиці 5.2.

Таблиця 5.2

№ вар.	0, рад	с, Нм/А	J, кгм2	imax, А	T, с	№ вар.	0, рад	с, Нм/А	J, кгм2	imax, А	T, с
1	6,28	19,1	0,7	4,7	1	16	5,78	11,34	0,75	6,9	1,1
2	9,12	12,4	0,8	5,2	0,3	17	9,54	14,65	0,77	7,2	1,2
3	3,45	5,9	0,42	3,7	1,2	18	7,12	8,65	0,73	5,5	0,3
4	3,14	14,2	0,6	4,3	0,4	19	8,59	9,43	0,8	6,5	1,1
5	6,82	8,34	0,7	4,8	0,5	20	7,31	12,54	0,56	4,8	0,2
6	9,45	7,21	0,5	3,9	1,1	21	6,37	16,72	0,32	3,6	0,5
7	7,12	9,26	0,2	2,5	1,2	22	5,37	12,43	0,68	5,2	0,4
8	9,23	7,54	0,3	2,9	1,3	23	8,46	13,9	0,92	8,1	0,3
9	6,34	6,12	0,4	3,6	0,7	24	9,24	7,59	1,12	9,2	0,2
10	8,32	5,23	0,4	4,1	0,6	25	9,58	8,21	0,24	2,9	0,9
11	9,45	8,54	1,2	8,5	0,5	26	3,12	13,12	0,75	4,6	0,5
12	6,48	7,24	1,1	8,2	1,2	27	4,65	14,56	0,86	7,2	0,4
13	5,23	12,4	0,9	7,5	1,3	28	7,28	9,43	0,93	8,1	1,3
14	9,42	15,76	0,8	7,2	0,4	29	7,81	7,49	0,56	5,4	0,6
15	8,27	14,87	0,7	6,0	1,1	30	5,45	8,65	0,85	8,3	0,5

Приклад 5.2 Розв’язати задачу 5.2.

Рівняння, що описують динаміку двигуна, мають вигляд:

де  - кутова швидкість двигуна; с – струмова стала двигуна; J – момент інерції електропривода.

Позначимо:  = y₁,  = y₂, i = u. Тоді рівняння двигуна матимуть вигляд:

(5.21)

за початкових умов y₁(0)=0, y₂(0)=0 і при кінцевих значеннях змінних y₁(Т)=0, y₂(Т)=₀.

Складаємо функцію Гамільтона:

Функція Н лінійна відносно u. Запишемо систему спряжених рівнянь:

(5.22)

Звідси отримуємо: ₂ = с₂; ₁ = - с₂t + c₁,

де c₁ і c₂ – сталі інтегрування.

Для досягнення максимуму Н необхідно, щоб ₁ і u були одного знака, тобто

u = u_maxsign₁ = і_maxsign₁= і_maxsign(c₁ - c₂t).

Функція має один корінь t₁=c₁/c₂, тому керування u має одну зміну знака:

(5.23)

Визначимо момент перемикання t₁. Для цього використаємо перше рівняння системи (5.21). На першій ділянці при t < t₁ керування u = i_max, тому dy₁/dt = ci_max/J.

За початкових умов y₁(0) = 0 отримуємо розв’язок цього рівняння:

При t = t₁ швидкість у кінці першої ділянки обчислюємо за формулою:

(5.24)

На другій ділянці при t  t₁ керування u = - і_max, тому dy₁/dt = -ci_max/J.

Розв’язок цього рівняння знаходимо за формулою:

Сталу інтегрування c₃ визначимо з умови, що функція y₁(t) при t=t₁ безперервна і на другій ділянці слушна формула (5.24). Тоді отримуємо:

При t = T маємо y₁(T) = 0, тобто звідки t₁= T/2.

Час Т визначимо з умови, що за цей час кутове переміщення дорівнює ₀. Тоді з другого рівняння системи (5.21) маємо:

або

звідки знаходимо:

З урахуванням позначень струму якоря і кутової швидкості запишемо закони їх змінювання під час відпрацювання двигуном заданого переміщення:

Закон змінювання напруги на якорі можна визначити з рівняння: u_я=іR+c.

Цей закон має вигляд:

Висновок

Принцип максимуму Понтрягіна є найдоцільнішим з усіх методів знаходження оптимальних керувань при розв’язуванні задач про швидкодію. Але цей метод дає тільки якісну сторону зміни керуючої дії, тобто визначає кількість інтервалів керування, і не дає кількісної оцінки закону керування. Це є його суттєвим недоліком.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте принцип максимуму Понтрягіна у загальному випадку.

2. Що таке функція Гамільтона?

3. Наведіть математичний запис принципу максимуму.

4. У чому полягає фізичний зміст оптимального керування?

5. У якій послідовності розв’язують задачу про максимальну швидкодію за принципом максимуму Понтрягіна?

6. Як визначають моменти перемикання керувань у разі замкнутої системи? Розімкнутої системи?

7. У чому полягає основний недолік принципу максимуму?

8. Сформулюйте теорему про n-інтервалів.