Контрольні запитання

1. Що таке аналітичне конструювання регуляторів?

2. Поясніть суть методу АКР.

3. У якій послідовності виконують аналітичне конструювання регуляторів?

Література: [3, с. 49-60], [6, с. 89-98].

Задача 5 Принцип максимуму Понтрягіна

Короткі теоретичні відомості

1956 року в роботах академіка Л.С. Понтрягіна та його учнів було обґрунтовано принцип максимуму як необхідну і достатню ознаку оптимального процесу для лінійних систем і необхідну ознаку для нелінійних систем.

Між принципом максимуму і принципом оптимальності Беллмана існує прямий зв’язок. Скористаємось рівнянням (3.2).

Позначимо: , тоді вектор запишемо:

Оскільки max(-y) = -min(y) (рис. 5.1), то можна записати:

або

О тже, умову мінімуму інтегралу (3.1) запишемо у вигляді:

(5.1)

де - скалярний добуток двох векторів.

Отриманий вираз (5.1) є математичним записом принципу максимуму Понтрягіна.

Використання принципу максимуму потребує знання вектора , що розглядають на оптимальній траєкторії. Цей вектор можна знайти, розв’язавши так звані спряжені рівняння:

(5.2)

Часто рівняння (5.1) і (5.2) записують у більш компактній формі, позначивши скалярний добуток векторів через H. Тоді отримуємо:

(5.3)

(5.4)

де (з урахуванням того, що ).

Узявши частинну похідну H за _і, отримаємо рівняння руху об’єкта:

(5.5)

Із виразу (5.3) можна зробити такі висновки:

- якщо процес є оптимальним, то у будь-який момент часу t оптимальне керування u(t) – це таке керування, що максимізує величину Н;

- у будь-якій точці оптимальної траєкторії максимальне значення величини Н одне й те саме: воно дорівнює нулю.

Функцію Н називають функцією Гамільтона. Вона має визначений фізичний смисл. Зокрема для консервативних механічних систем функція Н є повною енергією системи, яка повинна залишатися постійною й максимальною у процесі керування. Функції _і є імпульсами і задають напрямок руху.

Для неконсервативних систем, наприклад електричних, функція Н – потужність, а _і – також імпульси.

Звідси випливає фізичний смисл оптимального керування: необхідно надавати об’єкту таку кількість енергії, яка забезпечувала б його рух, при якому функціонал, вибраний як критерій оптимальності, досягав би екстремального значення за обмежень, що накладені на фазові координати та керування. Ця енергія надається за допомогою керування u, тому Н є функцією також і від u.

Таким чином, принцип максимуму в загальному випадку можна сформулювати так:

Для отримання оптимальної системи, у смислі мінімуму функціоналу І, необхідне існування таких ненульових безперервних функцій ₀(t), …, _n(t), які є розв’язком системи що при будь-якому t з інтервалу 0  t  T, величина Н як функція змінних u₁, … , u_r у заданій зоні їх припустимих значень, досягає максимуму відповідно до умови:

Принцип максимуму є найдоцільнішим з усіх методів знаходження оптимальних керувань при розв’язуванні задач про швидкодію.

Розв’язування задачі виконують у такій послідовності:

1. Складають функцію Гамільтона Н, що дорівнює скалярному добутку векторів , тобто причому .

2. Беруть частинні похідні Н за керуванням u_i, які визначають екстремум функції Н. У разі лінійної залежності Н від u_i частинна похідна є функцією однієї або декількох складових вектора . При цьому для досягнення додатного максимуму Н необхідно, аби u_i = +u_max при _і(t) > 0 і u_i = -u_max при _і(t) < 0, тобто

u_i = u_max sign _і(t). (5.6)

Таким чином, у даному випадку керуючий вплив стрибком набуває значення +u_max або -u_max. Момент зміни знаку називається моментом перемикання.

У разі нелінійної залежності Н від u_i частинну похідну дорівнюють нулю і з отриманого рівняння визначають u_i, при якому максимізується Н.

3. Для знаходження допоміжної функції _і(t), яка визначає керування, складають і розв’язують систему спряжених рівнянь (5.4).

4. У разі замкнутої системи визначають залежність керування від вихідних координат системи, що визначають оптимальну траєкторію: При цьому моменти перемикання визначаються автоматично при відхиленні фактичної траєкторії від оптимальної.

У разі розімкнутої системи визначають кількість змін знаку _і(t), тобто визначають, скільки разів _і(t) переходить через нуль або інакше, скільки коренів має функція _і(t). Моменти перемикання можна визначити за методом стикування розв’язків диференціальних рівнянь зі знакозмінною правою частиною.

Принцип максимуму дає тільки якісну сторону зміни керуючої дії, тобто визначає кількість інтервалів керування, і не дає кількісної оцінки закону керування, оскільки сталі інтегрування не можна визначити через невідомі початкові умови для функції (t). Це є його суттєвим недоліком.

Кількість перемикань визначається відповідно до теореми про n-інтервалів, яку 1953 року довів у своїх роботах О.А.Фельдбаум:

Якщо характеристичне рівняння системи n-го порядку має тільки дійсні недодатні корені (від’ємні та нульові), процес керування матиме не більше (n-1) перемикань. Якщо є комплексні корені (включаючи чисто уявні), то перемикань може бути більше, залежно від початкових умов.

Можна зробити висновок, що оптимальна за швидкодією система має релейний перемикаючий елемент, що керується за допомогою спеціального обчислювального пристрою. При цьому необхідно безперервно вимірювати всі n фазових координат, тобто регульовану величину і (n-1) її похідних і подавати інформацію на вхід обчислювального пристрою.

Оскільки ідеальні диференціальні ланки фізично не реалізуються, то для систем високого порядку можна здійснити лише близькі до оптимальних системи. Крім того, для систем високого порядку знаходження поверхонь перемикання є досить складною задачею, яка розв’язана лише для окремих випадків.