Завдання до задачі

Задача 3.1 Розв’язати задачу 2.2 методом динамічного програмування. Вихідні дані у таблиці 2.2.

Приклад 3.1 Розв’язати задачу (приклад 2.2) методом динамічного програмування.

Маємо рівняння об’єкта:

Функціонал:

Тоді система (3.3) має вигляд:

(3.5)

Звідси знаходимо: dS/dy = - 2u/b;

або

Отримали квадратне рівняння відносно u, корені якого є шуканими керуваннями:

Другий корінь відкидаємо як такий, що не відповідає умовам стійкості, й остаточно запишемо:

(3.6)

що співпадає з розв’язком (2.19), (2.20).

З рівнянь (3.5) можна виключити u і тоді визначити функцію S.

Задача 3.2 Розв’язати методом динамічного програмування задачу з обмеженням.

Рівняння об’єкта:

де x = f(u) – нелінійна функція з обмеженням (рис. 3.1).

Функціонал, що мінімізується, має вигляд:

Вихідні дані наведені у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

№ вар.	q	c	a	b	g	№ вар.	q	c	a	b	g
1	1	5	-1	3	1	16	1	3	-1	2	1
2	3	4	-2	2	3	17	3	4	-5	4	2
3	6	2	-4	4	2	18	2	2	-3	5	3
4	8	3	-6	1	4	19	4	6	-5	3	1
5	2	3	-1	2	5	20	5	5	-6	6	2
6	5	3	-3	4	1	21	3	4	-3	8	5
7	7	5	-9	3	2	22	6	7	-2	7	4
8	1	9	-1	6	3	23	7	3	-6	2	3
9	9	5	-5	2	7	24	9	2	-1	1	2
10	4	6	-8	3	6	25	8	8	-4	9	1
11	7	2	-2	9	5	26	1	9	-7	3	5
12	2	6	-3	7	2	27	3	1	-9	4	4
13	5	3	-1	8	3	28	2	4	-5	2	3
14	9	4	-4	4	4	29	5	2	-3	5	6
15	1	2	-7	5	1	30	7	6	-1	7	5

Приклад 3.2 Розв’язати задачу з обмеженням:

де x = f(u) – нелінійна функція з обмеженням (рис. 3.1).

Ф ункціонал, що мінімізується, має вигляд:

У даному випадку:

Тоді рівняння Беллмана матимуть вигляд:

(3.7)

З другого рівняння отримуємо:

З останнього рівняння:

Тоді перше рівняння системи (3.7) матиме вигляд:

Отримали рівняння, аналогічне попередньому прикладу, розв’язок якого має вигляд: , де коефіцієнт k₀ той самий, що у виразі (3.6).

Розв’язок рівняння дає константу f(u)=const. З урахуванням обмежень маємо |f(u)| = g.

Отже, закон регулювання (з урахуванням від’ємного зворотного зв’язку) має вигляд:

При цьому d = g/k₀.

Висновок

Задачі оптимального керування об’єктами, рівняння яких відомі, простіше розв’язувати методом динамічного програмування Беллмана. Якщо, крім того, накладено додаткові обмеження на координати і керування, такі задачі не можна розв’язати методами класичного варіаційного числення (методами Ейлера, Лагранжа), необхідно застосування сучасних методів, наприклад методу Беллмана.