Функція Лагранжа:

(2.5)

Часткові похідні за аргументами функції f:

(2.6)

Необхідні умови екстремуму функції F:

(2.7)

Розв’язуємо цю систему й знаходимо: x₁=1; x₂= -1 ; = 2.

Мінімальне значення функції дорівнює: f(x₁, x₂) = 2x₁² + x₂² = 3.

Н аведемо геометричну інтерпретацію задачі. Графік функції f(x₁, x₂) являє собою еліпс з центром у початку координат. Його рівняння після перетворень запишемо у вигляді:

(2.8)

Графік функції (x₁, x₂) – це парабола. Графіки обох функцій наведено на рис 2.1. Координати точки торкання А (1; -1) визначають мінімум функції f.

Задача 2.2 Визначити оптимальне керування об’єктом, що заданий рівнянням:

, (2.9)

у процесі переходу об’єкта з фіксованого початкового стану до кінцевого стану: y(0) = y₀; y() = 0 , за умови мінімуму функціоналу

(2.10)

Значення Т, k, q, c, y₀ наведені у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

№ вар.	q	c	T	k	y0	№ вар.	q	c	T	k	y0
1	1	5	1	3	1	16	1	3	1	2	1
2	3	4	2	2	3	17	3	4	0,5	4	2
3	6	2	0,4	4	2	18	2	2	1,3	5	3
4	8	3	0.6	1	4	19	4	6	1,5	3	1
5	2	3	1,8	2	5	20	5	5	0,6	6	2
6	5	3	3	4	1	21	3	4	0,3	8	5
7	7	5	1,9	3	2	22	6	7	0,2	7	4
8	1	9	2,1	6	3	23	7	3	0,6	2	3
9	9	5	1,5	2	7	24	9	2	1,1	1	2
10	4	6	0,8	3	6	25	8	8	1,4	9	1
11	7	2	0,2	9	5	26	1	9	0,7	3	5
12	2	6	0,3	7	2	27	3	1	0,9	4	4
13	5	3	1,1	8	3	28	2	4	1,5	2	3
14	9	4	1,4	4	4	29	5	2	1,3	5	6
15	1	2	0,7	5	1	30	7	6	1,1	7	5

Приклад 2.2 Визначити оптимальне керування об’єктом, що заданий рівнянням (2.9) у процесі переходу об’єкта з фіксованого початкового стану до кінцевого стану: y(0) = y₀; y() = 0 , за умови мінімуму функціоналу

(2.11)

Запишемо рівняння об’єкта (об’єкт описується аперіодичною ланкою першого порядку) у вигляді:

де а = -1/Т; b = k/T.

Складаємо функцію Лагранжа:

(2.12)

Тобто допоміжний функціонал має вигляд:

(2.13)

З урахуванням того, що

записуємо рівняння Ейлера-Лагранжа (2.4):

(2.14)

З другого рівняння маємо: u=b/2, тоді можна записати систему двох рівнянь:

або (2.15)

З другого рівняння , тоді отримуємо рівняння другого порядку:

або

(2.16)

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

де

Умови стійкості та вимоги y() = 0 задовольняє тільки від’ємний корінь, тому маємо:

(2.17)

З урахуванням граничних умов С₁=y(0)=y₀.

Далі знаходимо:

;

Тоді: де

Шукане оптимальне керування: або з урахуванням (2.17):

(2.18)

де

(2.19)

Рівняння (2.18) визначає структуру оптимального регулятора для заданого об’єкта керування і вибраного функціоналу (2.11). Мінімум цього функціоналу гарантує мінімальні відхилення y(t) і u(t) у період перехідного процесу. Вираз (2.19) визначає оптимальне значення коефіцієнта k₀.

Висновок

Якщо у задачі оптимізації крім критерію оптимальності (функціоналу І), граничних умов y(t₀) = y₀, y(t_к) = y_k задані також додаткові обмеження (рівняння об’єкта керування), таку задачу оптимізації можна розв’язати за допомогою методу множників Лагранжа, причому кількість множників Лагранжа дорівнює кількості обмежень.