Контрольні запитання

1. Яку систему керування називають оптимальною?

2. Що таке критерій оптимальності?

3. Що таке функціонал?

4. Що таке задача із закріпленими кінцями?

5. Назвіть класичні методи варіаційного числення.

6. Наведіть рівняння Ейлера і рівняння Ейлера-Пуассона. Поясніть їх суть.

7. Наведіть теорему Лежандра.

8. Які задачі оптимізації розв’язують методом Ейлера?

9. Наведіть алгоритм методу Ейлера.

10. Що таке екстремаль?

Л ітература: [1, с.80-84], [2, с.24-29], [6, с.65-67].

Задача 2 Розв’язування задачі варіаційного числення за методом Лагранжа (задача на умовний екстремум)

Короткі теоретичні відомості

Задачі синтезу алгоритмів оптимального керування об’єктами у динаміці при вибраному функціоналі критерію якості мають додаткові (умовні) обмеження у вигляді рівнянь математичної моделі динаміки об’єкта. Екстремум функціоналу, що визначається за додаткових умов (функціональних обмежень), називають умовним екстремумом. Задачі на умовний екстремум при визначенні оптимальних керувань об’єктом у динаміці зумовлені тим, що траєкторія виходу y(t) є наслідком зміни координати керування і залежить від виду диференціального рівняння об’єкта.

Таким чином, задача оптимізації об’єкта керування у динаміці, яку розв’язують класичним варіаційним численням, має таке формулювання:

• математична модель об’єкта задана у формі рівняння:

(2.1)

• задані граничні умови: y(t₀) = y₀; y(t_к) = y_k;

• необхідно визначити оптимальне керування u(t), що забезпечує мінімум функціоналу:

(2.2)

Ця задача називається задачею Лагранжа.

Розв’язувати задачу на умовний екстремум можна методом множників Лагранжа. Для цього введемо до розгляду новий функціонал:

(2.3)

де  - множник Лагранжа;

- функція Лагранжа;

- функція зв’язку.

За допомогою множників Лагранжа задача про умовний екстремум функціоналу (2.2) приводиться до задачі на безумовний екстремум функціоналу (1.1). Рівняння Ейлера при цьому складають для функції Лагранжа:

(2.4)

Ці рівняння називають рівняннями Ейлера-Лагранжа. Вони характеризують умову стаціонарності функціоналу (2.2). У результаті розв’язування цих рівнянь з урахуванням математичної моделі об’єкта і граничних умов отримаємо оптимальне керування u^(t) об’єктом у динаміці.

Завдання до задачі

Задача 2.1 Знайти мінімум нелінійної функції f(x₁,x₂)=(x₁-a)² + (x₂-b)² за обмежень (x₁, x₂) = x₁² + x₂² – R² = 0. Значення a, b, R наведені у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

№ вар.	a	b	R	№ вар.	a	b	R	№ вар.	a	b	R
1	4	4	3	11	6	6	2.5	21	6	5	3
2	4	4	2	12	6	6	1.5	22	7	4	1.5
3	4	4	4	13	2	2	4.5	23	7	4	3.5
4	3	3	1.5	14	2	2	5.5	24	7	4	6
5	3	3	2.5	15	2	2	1.5	25	4	2	4.5
6	3	3	4	16	2	3	6	26	4	2	2.5
7	5	5	3	17	2	3	4	27	4	2	3
8	5	5	6	18	2	3	5	28	3	1	7
9	5	5	2	19	6	5	2	29	3	1	1.5
10	6	6	3.5	20	6	5	7	30	3	1	5

Навести геометричну інтерпретацію задачі.

Приклад 2.1

Знайти мінімум функції f(x₁, x₂) = 2x₁² + x₂² за умов:

(x₁, x₂) = (x₁- 2)² + x₂ = 0.

Алгоритм методу містить такі етапи:

• складання функції Лагранжа: F(x₁, x₂, ) = f(x₁, x₂) + (x₁, x₂);

• визначення необхідних умов екстремуму функції F(x₁, x₂, );

• розв’язування системи рівнянь і знаходження координат точок екстремуму функції F(x₁, x₂, );

• визначення екстремального значення функції f(x₁, x₂);

• наведення геометричної інтерпретації розв’язку задачі.