МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕЛЕКТРОНІКИ

І КОМП’ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

ТА КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ З КУРСУ

«МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ КЕРУЮЧИХ АЛГОРИТМІВ»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ ДЕННОЇ ТА ЗАОЧНОЇ ФОРМ НАВЧАННЯ

ЗІ СПЕЦІАЛЬНОСТІ 7.091401

«СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ І АВТОМАТИКИ»

КРЕМЕНЧУК 2005

Методичні вказівки щодо практичних занять та контрольні завдання з курсу «Методи оптимізації керуючих алгоритмів» для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 7.091401 – “Системи управління і автоматики”

Укладач старш. викладач В.О.Євстіфєєв

Рецензент: к.т.н., доц. В.В. Прус

Кафедра САУЕ

Затверджено методичною радою КДПУ

Протокол № _____ від “____” ________2005 р.

Голова методичної ради _________________проф. В.В.Костін

ЗМІСТ

Вступ ............................................................................................................. Задача 1 Розв’язування задачі варіаційного числення за методом Ейлера ............................................................................................................ Задача 2 Розв’язування задачі варіаційного числення за методом Лагранжа ........................................................................................................ Задача 3 Метод динамічного програмування Беллмана ........................... Задача 4 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів ............. Задача 5 Принцип максимуму Понтрягіна ................................................. Список літератури.........................................................................................

4 5 8 13 18 22 31

ВСТУП

“Методи оптимізації керуючих алгоритмів” – одна з дисциплін навчального плану спеціальності 7.091401 - «Системи управління і автоматики». Необхідність її вивчення випливає з кваліфікаційної характеристики спеціальності, що визначає як мету навчання підготовку інженерів з комп’ютерних систем, здатних самостійно і творчо вирішувати задачі проектування, дослідження, експлуатації систем автоматичного керування і телемеханіки. Методи оптимізації ефективно використовують під час проектування автоматичних пристроїв у технічних і організаційних системах керування. Впровадження оптимальних систем автоматичного керування із застосуванням ЕОМ – це важливий засіб раціонального використання матеріальних, трудових, енергетичних та інших ресурсів.

Мета проведення практичних занять під час вивчення курсу «Методи оптимізації керуючих алгоритмів» - закріплення студентами теоретичних знань і набуття навичок, необхідних для правильної постановки задач оптимізації, використання моделей і методів математичного програмування, розв’язування конкретних технічних задач оптимізації.

Унаслідок проведення практичних занять студенти повинні навчитися складати і використовувати алгоритми різних способів розв’язування задач оптимізації.

Методичні вказівки містять завдання з основних тем курсу, які передбачені навчальним планом, а також приклади розв’язування задач. Варіант завдання студенти визначають за особистим номером у журналі академічної групи. Завдання виконують в окремому зошиті або на аркушах формату А4. Необхідні розрахунки, побудову графіків функцій можна виконувати за допомогою пакетів прикладних програм.

Задача 1 Розв’язування задачі варіаційного числення за методом Ейлера (задача із закріпленими кінцями)

Короткі теоретичні відомості

Під час вивчення перехідних процесів систем керування характер динаміки можна оцінювати величиною визначеного інтегралу. Наприклад, для одномірних об’єктів:

(1.1)

де y = y(t), - траєкторії к оординати виходу та її першої похідної за часом.

Технічна задача оптимізації динаміки об’єкта приводиться до математичної задачі знаходження екстремуму функціоналу (1.1). При цьому шукана функція повинна задовольняти крайові умови: y(t₀) = y₀; y(t_к) = y_k, де y₀, y_k – задані числа.

Обмеження на координати та обмеження на стан системи відсутні.

Така задача називається варіаційною задачею із закріпленими граничними точками (із закріпленими кінцями) (рис. 1.1).

Умова екстремуму інтегралу (1.1) за фіксованих граничних значень і відсутності обмежень на координати записується у вигляді рівняння Ейлера:

(1.2)

Криві, на яких реалізується екстремум функціоналу, є інтегральними кривими цього рівняння і називаються екстремалями.

У задачах оптимізації динаміки об’єктів у загальному випадку функціонал (1.1) може містити похідні вищих порядків. Необхідну умову наявності екстремуму такого функціоналу визначає рівняння Ейлера-Пуассона (за фіксованих граничних умов і відсутності обмежень на координати):

(1.3)

Слід зазначити, що рівняння (1.2) і (1.3) застосовують для знаходження екстремумів відповідних функціоналів тільки тоді, коли координати y(t) є безперервними гладкими функціями і не мають обмежень типу нерівностей.

Ці рівняння виражають першу необхідну умову екстремуму. Однак, залишається незрозумілим, є отримані екстремалі максимумом чи мінімумом функціоналу. Відповідь на це запитання дає теорема Лежандра, яка виражає другу необхідну умову екстремуму:

Для того, щоб функціонал (1.1) у задачі із закріпленими кінцями досягав на кривій мінімуму (максимуму), необхідно, щоб уздовж цієї кривої виконувалась умова:

. (1.4)

Завдання до задачі

Знайти функцію y(t), яка за граничних умов y(t₁)=y₁ і y(t₂)=y₂ мінімізує функціонал:

. (1.5)

Побудувати графік функції (екстремаль). Граничні умови наведені у таблиці 1.1.

Таблиця 1.1

№ вар.	t1,c	t2,c	y1	y2	№ вар.	t1,c	t2,c	y1	y2
1	1.0	2.0	1.0	0	16	1.0	2.0	4.0	2.0
2	1.1	2.1	1.4	1.0	17	1.2	2.2	4.1	2.2
3	1.4	2.5	1.9	1.1	18	1.4	3.0	3.8	1.6
4	1.5	2.5	1.1	0	19	1.6	2.6	3.3	1.3
5	1.2	2.7	2.0	1.2	20	1.8	3.8	4.2	1.8
6	1.8	2.4	1.3	0.5	21	2.0	3.0	1.2	0
7	2.0	3.0	1.7	1.0	22	2.2	3.2	2.2	1.2
8	1.0	3.0	2.1	1.4	23	2.4	3.9	1.8	0.8
9	1.3	2.8	1.5	0.5	24	2.6	4.6	2.6	1.6
10	1.6	3.6	2.3	1.0	25	2.8	3.8	2.4	1.4
11	1.8	2.8	3.1	2.0	26	0.4	2.4	2.7	1.5
12	1.2	2.5	3.7	2.5	27	0.5	1.5	1.6	1.0
13	1.5	3.5	3.9	1.9	28	0.8	1.8	2.8	1.6
14	2.0	3.0	3.2	2.0	29	1.0	2.0	3.0	1.0
15	1.4	3.4	3.5	1.5	30	1.1	3.1	2.9	1.4

Приклад 1

Знайти функцію y(t), яка за граничних умов y(1)=2 і y(3)=0 мінімізує функціонал:

. (1.6)

Алгоритм методу містить такі етапи:

- запис виразу під інтегралом у вигляді функції F(y, y);

- визначення часткових похідних функції F(y, y) за аргументами y і y;

- складання рівняння Ейлера (1.2);

- знаходження розв’язку рівняння Ейлера;

- побудова графіка функції y(t).

У даному випадку граничні умови: t₀=1, t_к=3, y(t₀) = y₀=2 ; y(t_к) = y_k=0.

Функція F(y,y) має вигляд:

F(y,y) = y² + k²y², де к=5.

Часткові похідні функції F(y,y):

, . (1.7)

Рівняння Ейлера:

2y – 2k²y = 0 або y- y/k² = 0 (1.8)

Розв’язок цього рівняння записуємо у вигляді:

(1.9)

Враховуючи граничні умови, знаходимо С₁ і С₂:

(1.10)

Тоді С₁ = -1,34; С₂= 4,43.

Розв’язок рівняння Ейлера в остаточному вигляді:

. (1.11)

Результати обчислень наведено у таблиці 1.2, графік функції - на рис. 1.2.

Таблиця 1.2

Результати обчислень функції y(t)

t,c	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
y(t)	2,0	1,78	1,57	1,37	1,17	0,97	0,77	0,57	0,38	0,18	0

Відповідно до (1.4) маємо:

значить, на кривій (1.11) функціонал (1.6) досягає мінімуму.

Висновок

Якщо у задачі оптимізації крім критерію оптимальності (функціоналу І) задані тільки граничні умови y(t₀) = y₀, y(t_к) = y_k, обмеження на координати та обмеження на стан системи відсутні, будь-які додаткові умови також відсутні, таку задачу оптимізації розв’язують за допомогою рівняння Ейлера (1.2), або рівняння Ейлера-Пуассона (1.3). Отриманий розв’язок є рівнянням екстремалі, на якій реалізується екстремум заданого функціоналу І.