СМОД – Статистические методы обработки данных / Лаба 1 - 8 / smodlabs / по смоду / шпоры_2006г / 30

30.Теория статистических решений без наблюдения

в случае непрерывных состояний и решений

Пусть имеется некоторая система, которая может находится в состоянии , где S – мн-во состояний, кот. предназн. котинуумам.

Состояние системы случайные, s-х извест плотностью вероятности.

Случ. велич. Имеет плотность распр. f(s).

Требуется не производя наблюдений над системой принять решение (указать состояние s).

Решение статистики обозн. , где D – пространство решений, аналогичное пространству состояния S.

Решение можт быть правильным и не правильным; в случае неправильного решения статистик должен нести потери. Для характеристики потерь вводится функция потерь. Чаще всего функция потерь зависит от рас-ия м/у s и d – q(s,d) Функция потерь должна удовлетворять следующим свойствам:

1. W(0)=0

2. W(q) >0

3. W(q2)≥ W(q2), если q2≥q1.

Решение будем рассматривать также случайное, т.е. имеется плотность вероятности f(d). Плотность вероятности f(d) называется решающей функцией, она называется рандомизированной.

Поскольку s и d случайные, то функция потерь явл. случайной величиной, следовательно, качество решения характеризуется математическим ожиданием функции потерь, которое называется средним риском r=E(w(s,d))

Задача теории статистических решений формулируется как оптимизационная: требуется найти решающую функцию f(d), минимизирующую средний риск. В виде одного выражения эта задача записывается так:

(1)

* Любая задача, в которой предполагаются известными все априорные распределения наз-ся байесовской, а подход такой – байесовский.

Мы видим, что задача теории статистических решений формулируется как байесовская. Для этого запишем выражение среднего риска от мат. ожидания функции потерь. По формуле мат. ожидания функции случайной величины получим:

(*здесь под r имеют ввиду r(f(d))*)

где f(s,d) – совместная плотность вероятности.

Поскольку состояние решений можно считать независимым, то по теореме умножения независимых случайных величин f(s,d)=f(s)*f(d) получим:

, где f(d)- решающая плотность вер-ти

Введем понятие условного риска при условии что фиксировано решение d:

(2)

тогда средний риск запишется:

(3)

Применим к выражению (3) теорему о среднем интегральном исчислении, получим:

, где

- это среднее значение условного риска (2)

- - это min значение условного риска

Неравенство записано на основании того, что

Из нер-ва можно сделать вывод, что условный риск x(d) и средний риск r имеют одно и тоже min значение. Это значит, что вместо минимизации среднего риска можно минимизировать условный риск (2),т.е. вместо задачи (1) решать следующую задачу:

(4)

=>Решающая функция f(d) имеет вид: , где

-дельта функция

-решение, доставляющее минимум условному риску r(d), т.е.

В этом случае средний риск (3) имеет вид:

Записано на основе фильтрующего свойства:

Решающая функция вида называется нерандомизированной функцией.

Итак, доказали:

1. Opt решающее правило является нерандомизированным

2. Opt решение отыскивается из условия минимума условного риска

Пример:

Предположим, что состояние системы:f(s)=N(a_{s 2})

Необходимо принять решение по состоянии системы w(s,d)=(s-d)².

По скольку решение не рандом., то d- неслуч. перем.

отсюда видно, что r(d)= =E((s-d)²)=E(s²-2sd-d²)=E(s²)-2dE(s)+d²=+-2d+d²

Необходимое условие минимума . Получим –2a+2d=0 ; d^*=a

Найдем r(d^*), т.е. чем мы рискуем: r(d^*)=a²+-2a²+a²= -т.е. минимальный риск равен дисперсии.