СМОД – Статистические методы обработки данных / Лаба 1 - 8 / smodlabs / по смоду / шпоры_2006г / 31

31.Теория статистических решений с наблюдениями.

Случай непрерывных состояний, решений и наблюдений.

Система может находиться в состоянии sS и известна плотность вероятности f(s)

Над системой выполняются измерения, в рез-те чего получается вектор измерений

, где X –пространство измерений

Требуется принять решение о состоянии системы, где D пространство решений. Для того, что бы вектор был получен при принятии решения, он д.б. связан с состоянием системы. Будем считать , что эта связь описывается условной пл-тью вероятности: и эта пл-ть вер-ти нам известна.

В данной задаче решение опред. По наблюдениям. т. е. d=d(x) –рандомизированной решение. Теория статист. решений в общем случае рассматривает рандомизированные решения .В данной задаче рандомизированные решения представляют собой пл-ть вероятности f(d), заданную в пространстве решений d. f(d)- называется решающей функцией.

Задача состоит в опред. f(d) -?

f(d)=f(d())

минимизируещее среднии риск

Для характеристики качества решения рассматривается ф-ия потерь и вводится средний риск: r=E(w(s,d)). Задача состоит в том, чтобы минимизировать средний риск:

Решение:Запишем выражение среднего риска

Введем понятие условного риска :

Но решение d фиксировано:

(2)

средний риск связан с условным формулой:

Далее воспользуемся в выражении (2 ) теоремой умножения теории вероятности

, где

(*) – апостериорная пл. вер-ти состояния системы.

Тогда вместо условного риска (2) получим:

(3)

Рассмотрим еще один условный риск, когда решение fix, :

(4) , тогда

Применяя выражение (4), теорему о среднем интегральном исчислении можно показать, что минимизация условного риска (3) эквивалентна минимизации условного риска (4)

-решение задачи

Пример: см стр 64 Майиного конспекта