Указания к выполнению контрольной работы №2. Неопределенный и определенный интегралы.
Для справок приводим таблицу неопределенных интегралов. Интегрирование, основное на применение таблицы основных интегралов, основных свойств неопределенного интеграла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосредственным интегрированием.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Пример 1. Найти интегралы:
а)
б)
в)
Решение.
а) Применяя табличные интегралы, получим:
.
б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:
в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin2x + cos2x и разделим почленно на знаменатель:
Если данный интеграл
не
является табличным и не может быть
найден способом непосредственно
интегрирования, то введение новой
переменной интегрирования позволяет
свести данный интеграл к табличному. В
этом сущность так называемого метода
подстановки.
Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки:
а)
б)
в)
.
Решение.
а) Чтобы привести данный интеграл к
табличному, положим t
= x2 + 1.
Дифференцируя, получим dt =
2xdx, xdx =
.
Производя замену, получаем:
б) Пусть t = arcsin
x, тогда
;
следовательно,
.
в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так:
Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной х. Определим дифференциал произведения этих функций:
d (u ) = ud + du, откуда ud = d (u ) – du.
Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:
(1)
Эта формула (1) называется формулой
интегрирования по частям. Ей пользуются
в тех случаях, когда
есть
более простой интеграл по отношению к
данному интегралу
.
Пример
3. Найти интегралы:
Решение.
а) Пусть
u = х и dσ
= e2xdx,
тогда du = dx
и σ =
.
Произвольную потоянную С можно учесть в окончательном ответе.
Применяя (1), получаем:
б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда
+
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I.
II.
,
где m – целое число,
m > 1;
III.
где
,
т.е. квадратный трехчлен х2
+ рх + q не имеет
действительных корней;
IV.
где
n – целое число, n
> 1; т.е. квадратный трехчлен х2
+ рх + q не имеет
действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов:
I.
.
II.
.
III.
(здесь в знаменателе исходного интеграла
выделили полный квадрат и свели к
табличному интегралу).
IV.
- сводится к табличному либо путем
различных преобразований подинтегральной
функции, либо используя рекуррентную
формулу.
Пример 4. Найти интегралы:
Решение.
а) Данная дробь – правильная, ее
знаменатель разложен на простейшие
множители. Множителю (х – 1)3
соответствует сумма трех простейших
дробей
а множителю (х + 3) – простейшая дробь
Итак, имеем:
Освободимся от знаменателя:
х2 + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)2(х + 3) + С(х – 1)2(х+3)+ D(x – 1)3 (*)
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3.
Полагая в (*) х = 1, получаем, что 2 =
4А или А=
Полагая в (*) х = -3, получаем, что 10 = -
64 D или D =
.
Сравним теперь коэффициенты при старших
степенях х в левой и правой частях
(*), т.е. при х3. В левой части равенства
(*) нет члена с х3, т.е. коэффициент
при х3 равен 0. В правой части
коэффициент при х3 равен
С + D. Итак, С + D
= 0, откуда C =
Остается определить коэффициент В. Для
этого надо иметь еще одно уравнение.
Это уравнение можно получить путем
сравнения коэффициентов при одинаковых
степенях х (например, при х2)
или придав х какое-нибудь числовое
значение. Удобнее взять такое значение,
при котором вычислений будет возможно
меньше. Полагая х = 0, получаем из
равенства (*): 1 = 3А – 3В + 3С – D
или
т.е.
Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:
Таким образом, получим:
б) Разложим знаменатель дроби на множители: х5 – х2 = х2(х3 - 1) = х2(х – 1) (х2 + х + 1).
Тогда
Освобождаемся от знаменателя:
1 = А(х – 1)(х2 +х + 1) + В(х – 1)(х2 + х + 1)х + С х2(х2 + х + + 1) + (Dx + E) x2 (x – 1).
Действительными корнями знаменателя
являются числа 0 и 1. Из последнего
равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е.
А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С =
Перепишем предыдущее равенство в виде:
1 = А(х3 – 1) + В(х4 – х) + С(х4 + х3 + х2) + Dx4 +Ex3 –Dx3 – Ex2.
Сравнивая коэффициенты при х4, х3, х2, получаем систему уравнений
Итак,
Следовательно,
в) Так как х2 + 1 есть
двукратный множитель, то
Освобождаясь от знаменателя, получаем:х3-
2х = Ах + В + (Сх + D)
(х2+ 1). Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
х:
х3 : 1 = С,
х2 : 0 = D,
х : -2 = А + С, А = -3,
х0 : 0 = В + D, В = 0.
Следовательно,
г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:
Следовательно,
Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби:
Освободимся от знаменателей:
8х3 – 16х + 1 = А(х + 2)2+ В(х – 2)(х + 2)2+С(х – 2)2+D(х + 2)(х – 2)2.
Принимая в последнем равенстве:
х = 2
: 33 = 42 А, откуда А=
х =
-2 : -31 = 16 С, откуда С= -
х =0 : 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1.
Для того, чтобы найти В и D,
сравнив коэффициенты при х3,
получим еще одно уравнение: 8 = В + D.
Решим получившуюся систему уравнений:
Находим,
что
Итак,
