Приклад виконання практичного завдання «Застосування кореляційно-регресійного аналізу в економічній діагностиці»
Необхідно побудувати кореляційне поле на основі даних, наведених у завданні, й визначити взаємозв’язок між роками (х) та продуктивністю праці (у).
Аналіз кореляційного поля і фактичної кривої дозволяє припустити, що:
1) апроксимація залежності можлива за допомогою прямої;
2) апроксимація можлива за допомогою криволінійної залежності – параболи.
Рішення
1 Апроксимація залежності за допомогою прямої
1.1 Рівняння залежності має такий вигляд:
y = a+bx, (14)
де y – це результативний показник (продуктивність праці – ПП);
x – факторний показник (роки);
a – це постійна величина результативного показника, яка не пов’язана зі зміною даного фактору;
b – це параметр, який показує середню зміну результативного показника з підвищенням або зниженням величини фактора на одиницю його виміру.
1.2 Визначення величин для розрахунку параметрів рівняння зв’язку і коефіцієнта кореляції
Таблиця 1 – Розрахунок похідних величин для визначення параметрів рівняння зв’язку
Роки (х) |
ПП (у) |
ух |
у2 |
х2 |
Очікуване
значення
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
13 |
13 |
169 |
1 |
12,845 |
2 |
13,2 |
26,4 |
174,24 |
4 |
13,249 |
3 |
13,5 |
40,5 |
182,25 |
9 |
13,653 |
4 |
13,9 |
55,6 |
193,21 |
16 |
14,057 |
5 |
14,6 |
73 |
213,16 |
25 |
14,461 |
6 |
15 |
90 |
225 |
36 |
14,865 |
7 |
15,2 |
106,4 |
231,04 |
49 |
15,269 |
Сума – 28 |
98,4 |
404,9 |
1387,9 |
140 |
98,399 |
1.3 Визначення параметрів рівняння регресії способом найменших квадратів
.
(15)
Використовуючи дані таблиці 1, отримаємо таку систему рівнянь:
.
(16)
У результаті проведених розрахунків одержали:
.
(17)
Необхідно відняти 2-ге рівняння від 1-го
.
(18)
Потрібно підставити значення b у перше рівняння:
a = 14,057 – 1,616
a = 12,441.
Таким чином, рівняння регресії, що виражає зв’язок між роками та продуктивністю праці, буде мати такий вигляд:
,
(19)
де 12,441 – постійна величина, що не пов’язана зі зміною фактора;
0,404 – параметр, який вказує зі зміною років продуктивність праці зростає на 0,404 тис. грн/особу.
1.4 Розрахунок теоретичної лінії регресії
Рівняння регресії, що виражає зв’язок між роками і продуктивністю праці, має такий вигляд:
(20)
=
12,441+0,404
* 1 = 12,845 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 2 = 13,249 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 3 = 13,653 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 4 = 14,057 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 5 = 14,461 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 6 = 14,865 тис. грн/особу;
=
12,441+0,404
* 7 = 15,269 тис. грн/особу.
Одержані значення потрібно занести у таблицю 1 і побудувати теоретичну лінію регресії.
1.5 Перевірка правильності розрахунків шляхом зіставлення сум фактичної і розрахункової продуктивності праці
Для розрахунків використовується гр.2 і гр.6 табл.1
(21)
98,4 = 98,399.
1.6 Визначення тісноти зв’язку між роками та продуктивністю праці. Для визначення тісноти зв’язку між роками і продуктивністю праці розраховується лінійний коефіцієнт кореляції.
.
(22)
Для визначення коефіцієнта кореляції необхідно знайти середні величини. Для цього використовується табл. 1.
;
;
;
r = (57,843 – (4*14,057))/(2*0,819) = 1,615/1,638 = 0,986.
Коефіцієнт кореляції свідчить про те, що підвищення продуктивності праці тісно пов’язано з роками, тобто відбувається нарощування продуктивності праці.
1.7 Визначення коефіцієнту детермінації:
r2 = 0,9862 = 0,972.
Коефіцієнт детермінації показує, що 97,2 % варіації продуктивності праці залежить від часу (років), а 2,8 % (100 - 97,2%) обумовлені впливом інших факторів, які не враховані в даній задачі.
Апроксимація за допомогою криволінійної залежності.
Для апроксимації залежності зроблено припущення, що зв'язок можна представити у вигляді рівняння параболи 2-го порядку
(23)
Відповідно до вимог методу найменших квадратів для визначення параметрів а,b та с необхідно розв’язати таку систему рівнянь:
.
(24)
Таблиця 2 – Визначення похідних величин для розрахунку параметрів рівняння регресії.
x |
y |
x2 |
x3 |
x4 |
yx |
yx2 |
y2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
13 |
1 |
1 |
1 |
13 |
13 |
169 |
12,91 |
2 |
13,2 |
4 |
8 |
16 |
26,4 |
52,8 |
174,24 |
13,249 |
3 |
13,5 |
9 |
27 |
81 |
40,5 |
121,5 |
182,25 |
13,614 |
4 |
13,9 |
16 |
64 |
256 |
55,6 |
222,4 |
193,21 |
14,005 |
5 |
14,6 |
25 |
125 |
625 |
73 |
365 |
213,16 |
14,422 |
Продовження таблиці 2
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
6 |
15 |
36 |
216 |
1296 |
90 |
540 |
225 |
14,865 |
7 |
15,2 |
49 |
343 |
2401 |
106,4 |
744,8 |
231,04 |
15,334 |
∑28 |
98,4 |
140 |
784 |
4676 |
404,9 |
2059,5 |
1387,9 |
97,399 |
2.2 Визначення параметрів рівняння регресії способом найменших квадратів
Використовуючи дані таблиці 2, була одержана система рівнянь:
Необхідно відняти рівняння
.
Одержали таку систему рівнянь:
Потрібно відняти рівняння
.
Параметр с= 0,013 підставимо в рівняння
0,404 = b+8*0,013
b = 0,404 – 0,104
b = 0,3.
Необхідно в перше рівняння підставити значення b та с і знайти а:
98,4 = 7а+28*0,3+140*0,013
а = (98,4 - 8,4 - 1,82)/7 = 12,597.
2.3 Рівняння криволінійної залежності, що відображає зв’язок між роками та продуктивністю праці, має такий вигляд:
Розрахунок теоретичної лінії регресії
=
12,597+0,3x+0,013x2;
(25)
= 12,597+0,3*1+0,013*1 = 12,91;
= 12,597+03*2+0,013*4 = 13,249;
= 12,597+0,3*3+0,013*9 = 13,614;
= 12,597+0,3*4+0,013*16 = 14,005;
= 12,597+0,3*5+0,013*25 = 14,422;
= 12,597+0,3*6+0,013*36 = 14,865;
= 12,597+0,3*7+0,013*49 = 15,334.
Одержані значення потрібно занести в таблицю 2 і побудувати теоретичну лінію регресії.
Перевірка правильності розрахунків шляхом зіставлення сум фактичної та розрахункової продуктивності праці. Потрібно зіставити суми граф 2 і 9 таблиці 2.
(26)
98,4
97,339.
2.5 Перевірка правильності рівняння (необхідно визначити середні величини):
(27)
.
Слід підставити середні значення у рівняння параболи другого порядку
14,057 = 12,597+0,3*4+0,013*20
14,057 = 14,057.
Параметр b = 0,3 показує, що при зростанні років продуктивність праці підвищується на 0,3 тис. грн/особу, а потім приріст продуктивності праці стає незначним 0,013 – 13 грн. Оптимальне значення років розраховується за формулою
,
(28)
тобто
років.
Отже, приріст продуктивності праці спостерігається за 11,5 років.
2.6 Визначення тісноти зв’язку між роками й продуктивністю праці
Для визначення тісноти зв’язку розраховують індекс кореляції або кореляційне відношення
=
.
Це свідчить про те, що парабола точніше апроксимує зв’язок між роками й продуктивністю праці.
Визначення коефіцієнта детермінації
.
Коефіцієнт детермінації показує, що 97,6 % відмінностей у продуктивності праці пов’язано з роками і тільки 2,4 % з іншими факторами, які не враховані в даній моделі.
Вибір апроксимуючої кривої за проведеними розрахунками
Досліджуючи розрахунки, можна зробити висновок, що найбільш близько до кривої знаходиться парабола – це підтверджено визначеними коефіцієнтами кореляції та кореляційного відношення.
За визначеним рівнянням регресії параболи 2-го порядку необхідно спрогнозувати значення продуктивності праці на наступні 2 роки
=
12,597+0,3
8+0,013
82=
15,829 тис. грн/особу;
=
12,597+0,3
9+0,013
92
= 16,35 тис. грн/особу.
2.8 Статистична оцінка результатів кореляційного аналізу
Перевірка суттєвості коефіцієнта кореляції при невеликому обсязі вибірки проводиться за допомогою критеріїв Фішера та Стьюдента.
Для
визначення суттєвості кореляційного
відношення
при досить невеликому обсязі вибірки
(n=7)
використовується критерій Фішера, який
доводить, що розподіл логарифмічної
функції вибіркового лінійного коефіцієнта
кореляцій (Z)
наближається до кривої нормального
розподілу навіть при невеликому обсязі
вибірки й високому значенні r.
Перехід від r
до z
здійснюється за середньоквадратичної
похибки z-розподілу
та визначається за такою формулою:
,
(29)
.
За таблицею z – критерію (додаток А) знайдемо, що кореляційне відношення 0,988 відповідає
z = 2,647 - 0,0261 = 2,6209;
при
;
;
2,647 - 1,472 =1,175;
0,09 - 0,988 = 0,002;
.
Визначення
відношення z до середньої похибки
вибіркового коефіцієнта кореляції
.
Табличне значення tнормативне = 2,57 t-критерію Стьюдента при £=0,05 та кількості степенів вільності К = 7 - 2 = 5 визначається за додатком Б.
Оскільки фактичне значення t-критерію Стьюдента склало 5,2418, то вибірковий коефіцієнт кореляції є достовірним і суттєвим.
Побудуємо довірчий інтервал, у якому із заданим рівнем значущості знаходиться коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності,
Користуючись таблицею z-критерію (додаток А), знаходимо довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції у генеральній сукупності.
Коефіцієнт
кореляції знаходиться у таких межах:
.
Достовірність
вибіркового коефіцієнту кореляції може
бути встановлена і без розрахунків за
таблицею Р. Фішера (додаток В). При рівні
значущості
та кількості ступенів свободи к=5,
критичне значення коефіцієнта кореляції
r=0,754.
За нашими розрахунками:
.
Це підтверджує висновок про те, що вибірковий коефіцієнт кореляції є достовірним.
5. Вихідні дані для визначення залежності чистого доходу від конкурентоспроможності продукції підприємства
№ варі- ан- та |
Чистий дохід Дч, млн. грн. |
Конкурентоспроможність продукції К, частки |
||||||||||||
Періоди |
Періоди |
|||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
44,8 |
49,7 |
52,9 |
57,2 |
61,8 |
63,2 |
64,5 |
0,24 |
0,55 |
0,8 |
0,78 |
0,84 |
0,81 |
0,86 |
2 |
43,8 |
50,7 |
51,9 |
56,2 |
60,8 |
62,1 |
63,5 |
0,23 |
0,54 |
0,78 |
0,8 |
0,81 |
0,82 |
0,83 |
3 |
46,8 |
49,7 |
52,4 |
57,1 |
61,7 |
62,1 |
63,5 |
0,24 |
0,54 |
0,8 |
0,79 |
0,83 |
0,84 |
0,85 |
4 |
45,8 |
49,6 |
51,3 |
57,1 |
61,7 |
63,1 |
63,9 |
0,22 |
0,53 |
0,79 |
0,8 |
0,83 |
0,84 |
0,85 |
5 |
43,6 |
50,6 |
51,8 |
56,5 |
63,0 |
63,1 |
65,1 |
0,24 |
0,51 |
0,77 |
0,81 |
0,84 |
0,85 |
0,86 |
6 |
44,7 |
48,7 |
51,9 |
57,1 |
61,7 |
62,1 |
65,4 |
0,25 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
0,82 |
0,83 |
0,85 |
7 |
43,9 |
48,1 |
52,8 |
57,3 |
61,7 |
63,3 |
64,4 |
0,24 |
0,51 |
0,8 |
0,78 |
0,83 |
0,84 |
0,87 |
8 |
42,8 |
48,7 |
49,5 |
58,0 |
60,8 |
63,2 |
64,3 |
0,24 |
0,54 |
0,81 |
0,82 |
0,84 |
0,79 |
0,86 |
9 |
44,5 |
49,5 |
52,9 |
57,5 |
61,5 |
63,5 |
65,5 |
0,25 |
0,53 |
0,78 |
0,79 |
0,81 |
0,82 |
0,83 |
10 |
44,7 |
49,7 |
52,7 |
57,7 |
61,7 |
63,7 |
64,7 |
0,24 |
0,54 |
0,74 |
0,78 |
0,84 |
0,83 |
0,85 |
11 |
43,9 |
49,3 |
52,3 |
57,3 |
61,3 |
63,3 |
64,3 |
0,27 |
0,53 |
0,73 |
0,8 |
0,81 |
0,82 |
0,83 |
12 |
44,4 |
49,4 |
52,4 |
57,4 |
61,4 |
63,4 |
64,4 |
0,26 |
0,54 |
0,74 |
0,8 |
0,82 |
0,79 |
0,81 |
13 |
44,5 |
49,5 |
52,5 |
57,5 |
60,5 |
63,5 |
65,5 |
0,23 |
0,53 |
0,83 |
0,73 |
0,84 |
0,82 |
0,84 |
14 |
44,7 |
49,8 |
52,8 |
56,8 |
60,9 |
63,8 |
64,8 |
0,24 |
0,54 |
0,74 |
0,81 |
0,82 |
0,83 |
0,84 |
15 |
44,6 |
49,7 |
52,7 |
58,1 |
60,5 |
63,7 |
64,7 |
0,24 |
0,5 |
0,69 |
0,78 |
0,8 |
0,81 |
0,87 |
16 |
43,7 |
50,1 |
53,1 |
59,2 |
61,7 |
63,8 |
65,9 |
0,24 |
0,48 |
0,78 |
0,81 |
0,82 |
0,84 |
0,83 |
17 |
43,4 |
50,4 |
52,4 |
58,4 |
60,4 |
64,4 |
67,4 |
0,23 |
0,53 |
0,83 |
0,73 |
0,84 |
0,81 |
0,86 |
18 |
42,5 |
50,1 |
53,1 |
58,5 |
61,9 |
63,9 |
65,9 |
0,24 |
0,54 |
0,74 |
0,8 |
0,81 |
0,82 |
0,84 |
19 |
43,8 |
49,8 |
52,8 |
58,8 |
61,8 |
63,8 |
65,8 |
0,24 |
0,55 |
0,78 |
0,81 |
0,79 |
0,83 |
0,85 |
20 |
44,7 |
49,8 |
52,9 |
58,9 |
60,9 |
63,9 |
65,9 |
0,24 |
0,54 |
0,8 |
0,78 |
0,84 |
0,85 |
0,87 |
21 |
43,8 |
50,1 |
52,3 |
58,3 |
61,3 |
63,3 |
64,3 |
0,24 |
0,54 |
0,78 |
0,8 |
0,81 |
0,83 |
0,84 |
22 |
44,5 |
50,7 |
52,7 |
59,1 |
62,9 |
63,4 |
65,1 |
0,24 |
0,54 |
0,8 |
0,78 |
0,84 |
0,81 |
0,85 |
23 |
44,7 |
49,8 |
53,0 |
57,3 |
61,3 |
63,4 |
65,3 |
0,24 |
0,53 |
0,79 |
0,8 |
0,81 |
0,78 |
0,84 |
24 |
43,2 |
49,2 |
52,2 |
58,2 |
61,2 |
63,6 |
64,9 |
0,23 |
0,54 |
0,8 |
0,81 |
0,79 |
0,83 |
0,85 |
25 |
42,4 |
49,8 |
52,8 |
58,8 |
61,9 |
63,1 |
64,8 |
0,24 |
0,55 |
0,75 |
0,8 |
0,81 |
0,85 |
0,83 |