3.5 Политропный процесс

Политропный процесс — это процесс в идеальном газе, характеризующийся постоянной теплоёмкостью.

Новое определение политропного процесса: термодинамический процесс, удовлетворяющий соотношению pvⁿ = const, где показатель политропы n — величина постоянная для данного процесса.

Уравнение политропного процесса можно вывести из основного уравнения термодинамики

(3.31)

записав его в виде

.

(3.32)

Продифференцировав уравнение Клапейрона, получим

dT = (pdv + vdp)/R .

(3.33)

После подстановки выражения для dT в уравнение (3.32) последнее приобретает вид

.

(3.34)

Из уравнения (3.34) после несложных преобразований, проведенных с учетом формулы Майера (2.26), следует

.

(3.35)

Введя обозначение для первого сомножителя

(3.36)

и проинтегрировав уравнение (3.35), получим

.

(3.37)

Потенцируя (3.37), получим уравнение политропы в координатах p,v

pvn = const ,

(3.38)

Значение показателя политропы n может изменяться от до , но в заданном процессе остаётся неизменным (так как с = const).

Сходство уравнения политропы (3.38) с уравнением адиабаты (3.27) позволяет использовать для политропного процесса формулы, полученные ранее для адиабатного процесса, заменив в них k на n. Тогда зависимость между параметрами рабочего тела в политропном процессе имеет вид

,

(3.39)

а деформационная работа политропного процесса равна

.

(3.40)

Значение теплоёмкости газа в политропном процессе выводится из выражения (3.36) для показателя политропы

,

(3.41)

то есть постоянная теплоёмкость политропного процесса зависит от свойств газа (c_v∞) и показателя политропы n.

Теплота процесса δq = cdT или в интегральном виде

.

(3.42)

Отсюда можно получить выражение для изменения энтропии:

.

(3.43)

Политропные процессы имеют следующие общие признаки:

1. Разделив уравнение (3.31) на dT, получим

,

(3.44)

где h = pdv/dT — удельная работа 1 кг газа, отнесённая к 1 К изменения температуры. В данном политропном процессе h = с – с_v∞ — постоянная величина.

2. Из формулы pvⁿ = const видно, что техническая работа политропного процесса в n раз больше деформационной: l_тех = nl.

,

(3.44)

3. Доли теплоты, идущие на изменение внутренней энергии рабочего тела x и на работу 1–x, соответственно равны

, ,

(3.45)

то есть остаются неизменными для данного политропного процесса.

Все рассмотренные ранее процессы являются частными случаями семейства политропных процессов. Действительно, из уравнения политропы pvⁿ = const видно, что указанным ниже значениям показателя n соответствуют следующие процессы:

n = k pv^k = const — адиабата;

n = 1 pv = const — изотерма;

n = 0 pv⁰ = p = const — изобара;

n = ∞ pv^1/∞ = p⁰v = v = const –.

Для анализа политропных процессов представим на диаграммах p,v и T,s процессы расширения, исходящие из одной точки, (рис. 3.5). Процессы располагаются правее изохоры, для них работа положительна (δl = pdv > 0).

На диаграммах отметим три зоны (сектора), которым соответствуют различные значения показателя политропы n:

Рис. 3.5. Взаимное расположение политропных процессов.

Первая зона ( ) объединяет процессы, расположенные между изохорой и изотермой. Здесь температура увеличивается (dT>0), поэтому внутренняя энергия тела возрастает (du = c_v∞dT >0). Энтропия также увеличивается (ds>0), что свидетельствует о подводе теплоты: δq = Tds >0. Во всех процессах этой зоны подводимая теплота расходуется на работу и на увеличение внутренней энергии рабочего тела. На изотерме вся теплота превращается в работу, а на изохоре вся теплота идет на увеличение внутренней энергии. Теплоёмкость для этой группы процессов положительна c = δq/dT >0. Представитель процессов первой зоны — изобарный процесс.

Вторая зона ( ) объединяет процессы, находящиеся между изотермой и изоэнтропой. Здесь температура уменьшается (dT <0), поэтому внутренняя энергия уменьшается (du <0); теплота подводится (δq >0); теплоёмкость отрицательна. В этой зоне деформационная работа расширения выполняется за счет подвода теплоты и уменьшения внутренней энергии рабочего тела. Процессы при k>n>1 встречаются в ДВС и компрессорах.

Третья зона ( ) охватывает процессы, расположенные между адиабатой и изохорой. Здесь, как и во второй зоне, температура и внутренняя энергия уменьшаются, но теплота отводится (δq <0), поэтому теплоёмкость положительна. Так как du = δq – δl, то во всей совокупности процессов этой зоны внутренняя энергия рабочего тела расходуется на совершение деформационной работы расширения и на отвод теплоты. Процессы третьей зоны встречаются при сжатии газа в турбокомпрессорах.

Процессы сжатия на рассмотренных диаграммах являются продолжением процессов расширения, но направлены в противоположную сторону, то есть расположены левее изохоры на диаграмме p,v и выше изохоры на диаграмме T,s. Характерные признаки политропных процессов расширения для трёх зон обобщены далее в таблице.

Знаки тепловых характеристик политропных процессов расширения

№ зоны	Показа- тель n	dT	du= cvdT	δq= Tds		Соотношение между энерге- тическими эффектами
I	1 ≥ n ≥ –∞	≥0	≥0	>0	>0	Теплота q идет на работу l и рост внутренней энергии u
II	k ≥ n ≥ 1	≤0	≤0	≥0	≤0	Работа l получается за счет теплоты q и уменьшения u
III	∞ ≥ n ≥ k	<0	<0	≤0	≥0	За счет u совершается работа l и отводится теплота q