Айнымалы ток тізбектері теориясының негізгі теңдеулері Синусоидалық функцияларды векто­р және комплекстік сан түрінде кескіндеу. Комплекстік әдіс және векторлық диаграмма

Айнымалы токтің электрлік тізбектеріне есеп жасаған кезде комплекстік сандар маңызды міндет атқарады. Мысалы, тізбек бөлігінің кедергісі немесе тізбектің өзі толығымен  комплекстік: өткізгіштік  комплекстік; ток, кернеу және ЭҚК  комплекстік шамалар.

Математикада комплекстік шамалар үш түрлі сипатта жазылады:

 алгебралық = а + jb;

 дәрежелік (көрсеткіштік) мұндағы ; ;

 тригонометриялық

Комплекстік сандарды қосу :

.

Комплекстік сандарды бөлу және көбейту:

, .

4.1-суретте физикалық шамалар мен функцияларды комплекстік сандар арқылы кескіндеуге арналған комплекстік жазық бет берілген. Комплекстік санның нақты және жорамал екі құрама бөлігі болады. комплекстік беттің абсцисса өсі бойынша комплекстік санның нақты, ал ординат өсі бойынша жорамал бөлігін алады. Нақты мәндер өсін +1, ал жорамал мәндер өсін символдары арқылы белгілейді..

Рис. 4.1

Эйлер формуласындағы мына

. (4.1)

комплекстік санды, сан мәні бойынша бірлік шамаға тең, ал комплекстік беттің нақты мәндер өсіне (+1 өсі) бұрыш жасай орналасатын вектор арқылы бейнелейді. бұрышын +1 өсінен сағат тілінің жүрісіне қарсы есептейді. Комплекстік функцияның модулі бірге тең:

* Нақты мәндерді электрмагнитік, электрдинамикалық және жылулық құбылыстарға негізделген өлшеуіш аспаптарымен өлшейді.

** Синусоидалық емес периодтық ток үшін , . Мұндағы теңсіздіктер синусоидалық емес ток күші синусоидалық ток күшінен қаншалық айырмашылығы бар екенін көрсетеді.

функцияның +1 өсіне проекциясы cosа-қа, ал өсіне проекциясы sinа-қа тең. Егер функцияның орнына функциясын алатын болсақ, онда

. (4.2)

Комплекстік беттегі функциясы сияқты функциясы да +1 өсіне а, бұрыш жасай орналасады, бірақ, мұндағы вектор 1_т есе ұзын болады. , демек бұрышы уақытқа тура пропорционал тәуелділікпен өзгереді. Бұл жағдайларды ескерсек

(4.3)

құрама функцияның

нақты бөлігін (Re) , ал

құрама жорамал бөлігін (Im)

4.2 -сурет сипаттайды.

Жиіліктері бірдей, синусоидалық заңдылық бойынша өзгеретін функциялардың, мысалы кернеу мен ток күштерінің векторларының комплекстік беттегі кескіндерін векторлық диаграмма деп атайды (4.3-сурет).

4.3-сурет.

Мұндағы циклдік жиіліктері бірдей айнымалы кернеудің фазасы , ток күшінің фазасы , ал фазалар айырмасы .

Уақыттың бастапқы моментінде болатынын ескерсек, онда

, (4.4)

мұндағы  комплекстік шаманың модулі ;  вектор мен комплекстік беттің + 1 өсінің аралығындағы бұрыш , яғни бастапқы фазаға тең шама.

9-10 Дәріс

Шашыраңқы параметрлі тізбектер. Айнымалы токтің электрлік тізбектерінің элементтері. Синусоидалық ток тізбегіндегі резистор.

Синусоидалық ток тізбегіндегі индуктивтік орама.Синусоидалық ток тізбегіндегі конденсатор.

Шашыраңқы параметрлі тізбектер. Айнымалы токтің электрлік тізбектерінің элементтері Тұрақты ток күшіне салыстырғанда айнымалы ток құбылыстары күрделірек сипатта болады. Айнымалы ток тізбегіне сыртқы ЭҚК пен қатар тізбектің өткізгіштерінің төңрегінде пайда болатын магнит өрісінің әсерінен өздік және өзара индукцияның ЭҚК-тері де әсер етеді. Өткізгіштің электр тогінің

энергиясы жылу және механикалық энергияға түрленеді, сонымен қатар сәулелік энергия түрінде де қоршаған ортаға таралады.

Мұндай жағдайда айнымалы токтің электрлік тізбегінің параметрлері (R, L және C) тізбектің бойына таралады. Ондай тізбекті шашыраңқы параметрлі тізбектер деп атайды.

Бірақ төменгі жиілік үшін электрлік өріс, және магниттік өріс және энергия шығыны тізбектің арнаулы жекеленген элементерінде, мәселен конденсатор, индуктивтік орама және резисторларға қатысты пайда болады. Осы элементерді қосатын өткізгіштердің кедергілері өте аз болуына байланысты ескерілмейді. Мұндай жағдайда тізбек жинақы параметрлі тізбекттің міндетін атқарады.

Электрлік тізбектің элементтері арқылы ток жүргенде оларда ток күшіне тәуелді потенциалдар айырмасы пайда болады. Демек, барлық элементтердің тек өзіне тән кедергілері болады. Электрлік тізбектің элементтердің кедергілері активті және реактивті болып екіге бөлінетінін осыған дейінде атап өткеміз.

Егер тізбектің элементі арқылы ток жүрген кезде, ондағы энергия шығыны қайтымсыз болса, ондай элементің кедергісін активті деп атайды.

Егер тізбектің элементінде ондай энергия шығыны болмаса, ондай элементтің кедергісін реактивті деп атайды. Реактивті элементтерге индуктивтік ораманың және конденсаторлардың кедергілері жатады.

Тізбектің активтік кедергілері элементін «резистор» деп атайды.

Әсіресе жиілік жоғарлаған сайын кедергісі тек ғана активті, немесе тек ғана индуктивті немесе тек ғана сыйымдылықты тізбектің элементі болуы мүмкін емес. Мысалы, индуктивті ораманың индуктивтік кедергісімен қатар орама өткізгіштерінің кедергісі болуына байланысты, R_L активті кедергісі де болады. Конденсатордың сыйымдылық кедергісімен қатар оның ұштарының өткізгіштері арқылы ток жүрген кезде, төңрегінде магнит өрісі пайда болуына байланысты индуктивтік кедергі пайда болады. Ал конденсатор арқылы ток жүргенде, оның астарларының аралығындағы диэлектрик қызады, активті кедергіге ұқсас энергияның қайтымсыз шығыны байқалады. Демек, конденсатордың R_C2 активті кедергісі бар.

4.5 –сурет 4.6-сурет

Жоғары жиілік үшін өткізгіштің әрбір бөлігінің активті кедергіден басқа индуктивтік және сыйымдылық кедергілері болады. Осы жағдайларды ескеріп, конденсатор (4.5б, 4.6б -сурет) мен индуктивтік ораманы (4.5а, 4.6а -сурет) 4.5а,б-суретте көрсетілген эквивалент тізбек ретінде қарастыруға болады, мұнда төмендегі барлық параметрлер ескерілген.

L  ораманың индуктивтілігі,

C  конденсатордың сыйымдылығы,

R_L  индуктивтік ораманың шығын (активті) кедергісі,

R_{C1 ,} R_C2  конденсатордың шығын (активті) кедергілері,

C_L  ораманың орамаларының аралығында пайда болатын сыйымдылық ,

L_C  конденсатордың индуктивтілігі.

Синусоидалық ток тізбегіндегі резистор

4. 7а-суретте бойымен ток жүріп тұрған, кедергісі R резистор бейнеленген. Ом заңы бойынша резисторға түскен кернеу

, (4.5)

немесе

, (4.6)

мұндағы .

Комплекстік ток күші және онымен фазасы сәйкес келетін комплекстік кернеудің векторлық диаграмммасы 4.7 б-суретте көрсетілген.

Ал 4.7в-суретте токтің лездік мәні, и кернеу және қуаттың лездік мәндерінің графикалық сипаттамалары берілген

. (4.7)

а) б) в)

4.7-сурет

Синусоидалық ток тізбегіндегі индуктивтік орама

Практикада кезкелген ораманың L индуктивтілігі және R активтік кедергісі болады. Ораманың эквиваленттік сұлбасын тізбектей қосылған L индуктивтік және R активтік кедергі ретінде қарастырамыз.

Сұлбадан бір ғана L индуктивтілікті (активті кедергісіз) бөліп алайық (4.6а-сурет). Егер L арқылы ток жүретін болса, онда орамада өздік индукцияның ЭҚК-і пайда болады.

. (4.8)

ЭҚК-ті есептейтін оң бағыты 4.8а-суретте тілше арқылы белгіленген, ол токтің оң бағытымен сәйкес келеді. Мұндағы а және нүктелердің аралығындағы потенциалдар айырмасын табайық.

Заряд нүктеден а нүктеге қарай орын ауыстырған жағдайда ЭҚК-ке қарама-қарсы қозғалады, сондықтан . Демек,

.

и_аb кернеудің оң бағыты ток күшінің оң бағыты мен сәйкес келеді.

4.8-сурет

Осыдан кейін индуктивтік орамаға түсен кернеудің а және индекстерін пайдаланбаймыз:

(4.9)

Демек,

; (4.10)

Циклдік жиілік пен индуктивтің көбейтіндісін арқылы белгілейді және оны индуктивтік кедергі деп атайды:

(4.11)

Индуктивтік кедергінің өлшем бірлігі  .

Осылайша, индуктивтік ораманың айнымалы ток үшін, жиілікке тәуелді, модулі кедергісі болады. Сонымен қатар, оның кернеуі ток күшінен 90°-қа озады. Өздік индукцияның комплекстік ЭҚК-нің фазасы комплекстік кернеудің фазасына қарама-қарсы келеді.

4.8в-суретте көрсетілген , и және р лездік шамалардың графиктеріне талдау жасайық.

Лездік қуат

(4.12)

абцисса өсінің нөлдік мәні арқылы өткен кезде не и немесе i нөл арқылы өтеді. Периодтың бастапқы төртен бір бөлігінде и және i оң мәнді болса, онда р-ның мәні де оң болады. р-нің қисығы және абсцисса өсімен шектелген аудан арқылы өтетін уақыт мезетінде индутивтік орама қоректендіруші энергия көзінен алған энергиясын магнит өрісін тудыруға жұмсайды.

Периодтың екінші төртен бір бөлігінде ток күші макси­мум мәнінен нөлге дейін кемиді, магнит өрісінің энергиясы қоректендіруші энергия көзіне кері қайтарылады, ал лездік қуат теріс мәнге көшеді.

Периодтың үшінші төртен бір бөлігінде индутивтік орама қоректендіруші энергия көзінен қайтадан энергия пайдаланады, ал төртінші төртен бір бөлігінде қайтарып береді, осы ретпен индутивтік орама қоректендіруші энергия көзінің энергиясын периодты түрде пайдаланады және кері қайтарады.

Нақты индуктивтік ораманың L индуктивтілігінен басқа R активті кедергісі де болады. (4.8г-сурет). Сондықтан нақты индуктивтік орамаға түскен кернеуі L және R-ге түскен кернеудің қосындысына тең (4.8д - сурет). Осы суреттен, орамаға түскен кернеу мен ток күшінің аралығындағы бұрыш 90°  -ға тең, мұндағы , Q_L  нақты индуктивтік ораманың сапалылығы (добротность). Q_L-дің мәні қаншалықты үлкен болған сайын, соншалықты кіші болады.

Синусоидалық ток тізбегіндегі конденсатор

Егер конденсаторға берілген кернеудің мәні өзгермейтін тұрақты болса, онда оның бір жақ астарындағы заряд және келесі жағындағы заряд өзгермейді (С  конденсатордың сыйымдылығы), ал конденсатор арқылы ток жүрмейді ( ).

Егер конденсаторға берілген кернеу уақытқа тәуелді, мысалы, си­нусоидалық заңдылық бойынша өзгеретін болса (4.5а-сурет), онда

(4.13)

конденсатордың q заряды да си­нусоидалық заңдылық бойынша өзгереді: , сондай-ақ, конденсатор зарядынан периодты түрде ажырайтын болады. Конденсатор қайтадан периодты түрде зарядталған кезде оның бойымен зарядталу тогі жүреді:

. (4.13а)

4.9-сурет

Конденсатор арқылы жүретін ток күшінің оң бағыты, оған түсетін кернеудің оң бағытымен сәйкес келеді (4.9а-сурет). (4.13) және (4.13а) өрнектерін салыстырып қарайтын босақ, конденсатор арқылы жүретін ток күшінің фазасы кернеудің фазасынан 90°- қа озатынын көреміз. Сондықтан да, 4.9б-суретте бейнеленген векторлық диаграммадағы ток күшінің векторы кернеу векторынан 90°- қа озады.

ток күшінің амплитудасы кернеу мен сыйымдылық кедергінің бөліндісіне тең.

. (4.14)

Мұндағы  сыйымдылық кедергі жиілікке кері пропорционал.

Сыйымдылық кедергінің өлшем бірлігі  Ом. и, , р шамалардың лездік мәндерінің графиктері 4.9в-суретте көрсетіген.

Лездік қуат

(4.15)

Периодтың бастапқы төртен бір бөлігінде, конденсатор қоректендіруші энергия көзінен алған энергиясын, астарларының аралығында пайда болатын электр өрісін тудыруға жұмсайды. Периодтың екінші төртен бір бөлігінде конденсатордың кернеуінің мәні максимумнан нөлге дейін кемиді, электр өрісінің энергиясы қоректендіруші энергия көзіне қайтарылады (лездік қуат теріс мәнге көшеді). Периодтың екінші төртен бір бөлігінде конденсатор қайтадан энергия қабылдайды, ал периодтың келесі төртен бір бөлігінде жинақтаған энергиясын қайтарады. Осы процесс периодты түрде қайталанады.

Егер мына төмендегі теңдеудің екі жағынан да уақыт бойынша интегралдайтын болсақ, онда

(4. 16)

немесе

. (4. 17)

теңдеуін қорытып шығарамыз.

(4.17) теңдеуі, конденсатор арқылы жүретін ток күшін пайдаланып, конденса­тордың кернеуін анықтауға мүмкіндік береді.

Конденсатор арқылы синусойдалық ток жүрген кезде, егер оның астарларының аралығындағы диэлектрик қабаты идеал күйде болса, ондай диэлектрикте энергия шығыны болмайды. Бірақ қатты немесе сұйық диэлектриктер арқылы синусойдалық ток жүрген кезде, әрқашанда аздап болсада энергия шығыны байқалады. Оның себебі, диполдық молекулалардың айналмалы қозғалысы кезінде тұтқырлық үйкелістің әсері және де азда болсада өткізгіштігі болатындығына байланысты. Мұндай энергия шығыны аз болуына байланысты, кейде ескермеуге де болады. Энергия шығынын ескеру қажет болған жағдайда конденсаторды 4.9г-суретегі сұлбамен бейнелейді. Онда конденсатордың С сыйымдылығына параллел R кедергілі резистор қосылған.

Конденсатор арқылы жүретін ток екі токтің геометриялық қосындысына тең: конденсатор арқылы жүретін ток, конденсатордың кернеуінен 90°- қа озады (4.9-сурет), R кедергілі резистор арқылы жүретін токтің фазасы кернеумен сәйкес келеді.

Сөйтіп, астарларының аралығына идеал емес диэлектрик орналасқан конденсатор арқылы жүретін ток кернеуден 90°-нан кіші бұрышқа озады . және токтің аралығында пайда болатын бұрышын шығын бұрышы деп атайды. мәні қатты және сұйық диэлектриктер үшін арнаулы анықтама кестеде беріледі. конденсатордың сапалылығы деп аталады.

11- Дәріс