Пример решение задачи

Задача 3.1. Имеется статистическая информация о фондоотдаче тридцати организаций, руб.:

1,05; 0,96; 1,12; 1,19; 1,08; 1,98; 1,3; 1,16; 1,065; 1,0; 1,1; 1,23; 1,13; 1,03; 0,9; 1,06; 1,15; 1,07; 1,17; 0,94; 1,02; 1,06; 1,18; 0,99; 1,1; 1,28; 1,09; 1,25; 1,04; 1,12.

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по фондоотдаче, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, моду и медиану, квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

3. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3. Объясните причину их расхождения.

Решение:

Необходимо построить ряд распределения организаций по признаку «фондоотдача», образовав пять групп с равными интервалами. Величину интервала группировки организаций по фондоотдаче определяем по формуле:

руб.

Таким образом, интервалы получились: 0,9 – 0,98; 0,98 – 1,06; 1,06 – 1,14; 1,14 – 1,22; 1,22 – 1,3.

Подсчитаем частоты, частости и накопленные частоты и представим результаты в таблице 3.1:

Таблица 3.1

Ряд распределения организаций по фондоотдаче

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	Число организаций в % к итогу	Накопленные частоты, F	Х
А	1	2	3	4
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06 – 1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1,3	3 7 11 5 4	10 23,333 36,667 26,667 13,333	3 10 21 26 30	0,94 1,02 1,1 1,18 1,26
	30	100

2. Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из таблицы 3.1 видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где значение варианты лежит в пределах от 1,06 до 1,14. Это и есть модальный интервал. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

.

где х₀ – нижняя граница модального интервала, в нашем случае 1,06;

i - величина интервала группировки, в нашем примере 0,08;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному (7);

f₂ - частота модального интервала (11);

f₃ - частота интервала следующего за модальным (5).

Подставляя числовые значения из нашего задания в эту формулу, получим:

руб.

Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряде определим сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал).

Половина суммы частот у нас равна 15. Следовательно, согласно табл. 3.1 медианным интервалом у нас будет интервал со значением фондоотдачи от 1,06 до 1,14.

Формула для исчисления медианы в вариационном интервальном ряде будет иметь такой вид:

,

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – номер медианы;

F_Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Подставляя в эту формулу значения, получим:

руб.

Средняя арифметическая для ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной ( см. табл. 3.2, гр.3):

руб.

Следовательно, средняя арифметическая равна 1,1; мода-1,092 и медиана- 1,096. Соотношение этих трех величин указывает на направление и степень асимметрии распределения. Так как значение средней арифметической больше значения медианы и моды, то есть 1,1 >1,096>1,092, то это правосторонняя асимметрия (положительная). Правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивном развитии отрасли, о том, что оно идет в сторону увеличения эффективности использования основных производственных фондов (увеличения фондоотдачи) организаций.

Чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение, нужно определить дисперсию признака. Формула этого показателя такая:

Корень квадратный из дисперсии и будет средним квадратическим отклонением:

Проделаем в таблице 3.2 необходимые расчеты для нахождения дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Таблица 3.2

Вычисление дисперсии, среднего квадратического отклонения

и коэффициента вариации

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	X	Xf
А	1	2	3	4	5
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06-1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1.3	3 7 11 6 4	0,94 1,02 1,1 1,18 1,26	2,82 7,14 12,1 5,9 5,04	0,026 0,006 0 0,006 0,026	0,078 0,042 0 0,036 0,104
Итого:	30		33	0,064	0,26

руб.

Анализ полученных данных говорит о том, что фондоотдача организаций отличается от средней фондоотдачи на 0,94 руб., или на 8,55%. Значение коэффициента вариации v не превышает 40 %. Отсюда следует, что вариация фондоотдачи не высокая и средняя фондоотдача, рассчитанная по средней арифметической взвешенной, является типичной, надежной величиной, свидетельствующей об однородности совокупности.

3. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным и сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным по таблице 3.4. Средняя арифметическая для первичных данных вычисляется по формуле простой средней арифметической:

, руб.

Данный результат, полученный на основе средней арифметической простой, отличается от средней арифметической взвешенной. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиваться сведениями о величине середины интервала.