Часть 3 вычисление интегралов в задачах геометрии и механики

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями.

1. Записать уравнение кривых, которые ограничивают площадь плоской фигуры.

2. Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их у двукратном интегрировании.

3. Обратиться на панели Символы к функции simplify.

4. Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

5. На месте ввода функции под интегралом ввести еще один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

II Вычислить координаты центру тяжести пластины.

1. Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.

2. Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.

3. Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.

1. Обратиться на панели Символы к функции simplify.

2. Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

3. На месте ввода функции под интегралом ввести еще один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

4. Найти аналогично статические моменты M_x и M_y пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы

5. Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу

Таблица 6 – Варианты задания (часть 3)

Номер варианта	Функции для вычисления площади фигуры	Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры
1	2	3
1	x=y2-2y; x+y=0
2	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
3	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
4	3y2=25x; 5x2=9y	y=
5	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
6	y=4x-4x2; y=x2-5x
7	x=4-y2; x+2y-4=0
8	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
9	x=y2-2y; x+y=0
10	y=2-x; y2=4x+4
11	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
12	y=4x-4x2; y=x2-5x	y2=x; x2=y
13	x=4-y2; x+2y-4=0	y=
14	x=y2-2y; x+y=0
15	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
16	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
17	y=4x-4x2; y=x2-5x
18	x=4-y2; x+2y-4=0
19	x=y2-2y; x+y=0
20	y=2-x; y2=4x+4
21	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
22	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2

Продолжение таблицы 6

1		2		3
23	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)		y2=x; x2=y
24	x=y2-2y; x+y=0		y=
25	y=2-x; y2=4x+4
26	3y2=25x; 5x2=9y
27	x=y2-2y; x+y=0
28	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
29	y=4x-4x2; y=x2-5x		y=x2; y=2x2; x=1;x=2
30	x=4-y2; x+2y-4=0		y2=x; x2=y

Пример

I Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями x=4y-y² и x+y=6.

1 Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).

x=4y-y²

x+y=6.

В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).

2 Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify

.

II Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y²=4x+4 i y²=-2x+4.

Площадь:

Статические моменты относительно осей Ох и Оу:

Координаты центра тяжести: