2.3. Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания, разработанный Р. Брауном, дает возможность получить оценки параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод позволяет давать обоснованные прогнозы на основании рядов динамики, имеющих умеренную связь во времени, и обеспечивает большой учет показателей, достигнутых в последние периоды наблюдения.

Суть метода заключается в сглаживании временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчинены экспоненциальному закону. Метод экспоненциального сглаживания не просто экстраполирует действующие зависимости в будущее, а приспосабливается, адаптируется к изменяющимся во времени условиям. Поэтому он является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования.

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для наиболее распространенного случая, когда тренд описывается линейной функцией. В этом случае используется полином первой степени и тренд выражается двумя членами ряда Тейлора и некоторым малым числом , зависящим от времени:

y=A+Bt+ .

Данное выражение называют линейной моделью Брауна. При выборе начальных условий Браун рекомендует рассчитывать А, В путем выравнивания исходного временного ряда способом наименьших квадратов.

Процесс экспоненциального сглаживания основывается на цепочечных расчетах. Сначала устанавливаются исходные параметры выравнивающих кривых А,В по которым с помощью формул находятся начальные условия. На основе этих условий по формулам определяются характеристики сглаживания, затем – оценки коэффициентов для экспоненциального сглаживания первого порядка в исходном динамическом ряду и, наконец, - расчетное значение линейной (y=A+Bt). Полученные на первом этапе характеристики сглаживания затем используются в качестве исходных данных для вычисления второго сглаженного значения в рассматриваемом динамическом ряду и т.д. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будут сглажены все значения исходного временного ряда.

Коэффициенты уравнения (оценки коэффициентов), найденные при экспоненциальном сглаживании последнего значения в исходном динамическом ряду, используются для последующего прогноза.

Начальные приближения для случая линейного тренда равны:

экспоненциальная средняя 1-го порядка:

S (y)=A - ;

экспоненциальная средняя 2-го порядка:

S (y)=A - ,

где - параметр сглаживания.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно.

Для приближенной оценки используют соотношение Брауна:

= ,

где m- число наблюдений (точек) в ретроспективном динамическом ряду.

Зная начальные условия S (y), S (y) и значение параметра , вычисляют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка:

S (y)= y_t + (1- ) S (y);

S (y)= S + (1- ) S (y).

Оценки коэффициентов линейного тренда:

= 2 S (y) - S (y);

= [ S (y)- S (y)].

Прогноз на время t равен:

y_t= + *t.

Ошибка прогноза:

,

где p- период прогноза.

Рассмотрим пример: Пусть задан временной ряд показателя валовой продукции (y_t ) в стране за 4 года в млрд руб в сопоставимых ценах:

Таблица 2.4

Динамика ВНП в стране (в сопоставимых ценах)

год	1997	1998	1999	2000
t	1	2	3	4
yt	40	43	46	48

Используя метод экспоненциального сглаживания построить прогноз валового выпуска на 2001 год.

Согласно имеющейся динамике показателя валовой продукции, можно предположить что тренд описывается линейной функцией.

Определим коэффициенты прямой y=A +B*t по методу наименьших квадратов. Для этого вычислим ряд промежуточных значений и их суммы.

Результаты занесем в таблицу:

Год	Период, t	Фактическое значение yt	Расчетные значения
			t2	tyt	y=37,5+ 2,7*t	y-yt
1997	1	40	1	40	40,2	0,2
1998	2	43	4	86	42,9	-0,1
1999	3	46	9	138	45,6	-0,4
2000	4	48	16	192	48,3	0,3
Итого	10	177	30	456

А=37,5; В=2,7

Тогда уравнение прямой имеет вид: y=37,5+ 2,7*t

Подставив в него значения t=1,2,3,4, получим расчетные значения тренда (см. таблица)

Основная ошибка:

= =0,3

2. Параметр сглаживания:

.

3. Начальные условия:

S (y)= 37,5 - ;

S (y) =37,5 -

4. Для t =2 вычисляем экспоненциальные средние:

S = 0,4*40+0,6*33,45=36;

S = 0,4*36+0,6*29,4=32.

Далее вычисляем значения коэффициентов:

=2*36-32=40;

= ;

прогнозируемые значения:

y₂ = 40+2,6*1=42,6;

отклонения от фактического значения:

y₂= 42,6-43=-0,4.

Аналогичные вычисления выполним для t=3(1999г.), t=4(2000г.), результаты представим в таблице:

Год	Периодt	Факт. значение yt	Расчетные значения
			S	S			yt	y
1997	1	40
1998	2	43	36	32	40	2,6	42,6	-0,4
1999	3	46	38,6	34,6	42,6	2,7	45,3	-0,7
2000	4	48	41,6	37,4	45,8	2,8	48,6	0,6
2001	p=1	-	44,2	40,1	48,3	2,7	51	-

При построении модели прогноза на 2001 г. период прогноза р=1, тогда окончательная модель прогноза имеет вид:

y_t+p= 48,3+2,7p

y₅= 48,3+2,7*1= 51.

Ошибка прогноза

=0,46.

Ответ: Прогноз валового выпуска в стране на 2001 год составит 51 млрд руб., при сохранении тенденций развития может иметь отклонение 0,46.

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность экстраполяции? Назовите известные вам виды экстраполяции.

2. На основе каких методов осуществляется анализ рядов динамики?

3. Что такое тренд? Какими функциями может описываться тенденция развития?

4. Назовите основные методы прогнозной экстраполяции?

5. В чем сущность метода наименьших квадратов?

6. В чем сущность метода скользящей средней? В каких случаях он применяется в прогнозировании?