2.1. Метод наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Считается, что этот метод лучше других соответствует идее усреднения, как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неучтенных.

Рассмотрим случай линейной зависимости между переменными Y и Х. Линейная зависимость имеет вид: Yt = a₀ +a₁Xt. Необходимо определить числовые параметры (а₀ и а₁), которые наилучшим образом, описали бы зависимость, полученную при наблюдении. Наилучшее согласование достигается в случае, когда сумма квадратов отклонений опытных точек от точек, рассчитанных по теоретической кривой, обращается в минимум:

S = = min

Так как, по условию, Yt = a₀ +a₁Xt, то

S = = min

Функция S –функция двух независимых переменных а₀ и а₁. Для определения экстремума функции нескольких переменных необходимо обращение в ноль ее частных производных первого порядка. Далее необходимо сократить все члены уравнений на 2 и сгруппировать члены, содержащие а₀ и а₁, тогда получим:

n a₀ + a1

a₀

Теперь для определения а₀ и а₁ необходимо решить систему уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Описать линейную зависимость между выпуском валовой продукции в регионе Y и численностью работающих X и составить прогноз валового выпуска продукции в регионе при условии, что численность работающих увеличится на 20% по сравнению с последним наблюдением.

Таблица 2.2

Динамика валового выпуска продукции и численность занятых в регионе (данные условные)

	1 год	2 год	3 год	4 год
Xi тыс. чел	10	30	50	70
Yi млн р.	11	13	16	18

Решение: При n=4 имеем

= 10+30+50+70=160 = 11+13+16+18=58

=2560 = 8400

Получим систему уравнений:

4а₀ + 160а₁ =58

160а₀ +8400а₁=2560

Решением системы уравнений является: а₀=9,7 и а₁=0,12

Тогда зависимость имеет вид: Yt=9,7 +0,12Xt

Для расчета ошибки прогноза определим отклонение фактических значений Y от расчетных.

Результаты представим в виде таблицы:

Год	1	2	3	4
Yфактическое	11	13	16	18
Yрасчетное	10,9	13,3	15,7	18,1
Yр -Yф	-0,1	0,3	-0,3	0,1

Тогда ошибка прогноза равна:

= = 0,26

При условии, что численность работающих в регионе увеличится на 20%, тогда Yt = 9,7 + 0,12*84=19,78 тыс руб

Вывод: При увеличении численности занятых в регионе на 20% по сравнению с последним наблюдением объем выпуска валовой продукции в регионе составит 19,78 тыс руб, т. е. увеличится на 9,8%, при сохранении тенденций развития может иметь отклонение 0,26.

Метод наименьших квадратов широко применяется в прогнозировании в силу простоты и возможности реализации на ЭВМ. Недостаток данного метода состоит в том, что модель тренда жестко фиксируется, а это делает возможным его применение только при небольших периодах упреждения, т.е. при краткосрочном прогнозировании.