3.2. Оценка показателей надежности. Доверительные границы и доверительные вероятности

Для определения показателей надежности технических объектов используются как законы распределения случайных величин, так и их основные характеристики – математическое ожидание и дисперсия. Законы распределения чаще всего применяют только к элементам объектов, так как для получения этих законов необходимо располагать обширным статистическим материалом (порядка нескольких сот опытов). Накопить такое число опытов (реализации), например отказов для РЭО, тем более сложного, не всегда представляется возможным. Поэтому на практике ограничиваются оценкой параметров распределения, для вычисления которых достаточно иметь один–два десятка реализаций.

Показатели надежности, вычисленные на основе ограниченного числа опытов, всегда содержат элемент случайности. Именно поэтому экспериментально полученные параметры называют оценками параметров. Чем меньше число опытов, тем больше вероятность отклонения оценки параметра от его истинного значения. Математическая статистика установила связь между числом реализации (отказов) п, величиной отклонения оценки параметра от его истинного значения и вероятностью этого отклонения. При этом наилучшая статистическая оценка, обеспечивающая минимальные ошибки, должна обладать следующими основными свойствами.

Оценка должна быть состоятельной. Это значит, что при увеличении числа реализации п оценка параметра должна сходиться по вероятности к своему параметру.

Оценка должна быть несмещенной, т. е. она должна быть свободной от систематической ошибки.

Оценка должна быть эффективной. Это значит, что выбранная несмещенная оценка должна иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками.

На практике не всегда удается добиться, чтобы оценка удовлетворяла всем этим требованиям. Может оказаться, что вычисление эффективной оценки получается очень сложным и трудоемким. В этом случае нередко удовлетворяются другой оценкой, дисперсия которой несколько больше, зато объем вычислений заметно меньше.

В качестве состоятельной и несмещенной оценки средней наработки на отказ T_о* для математического ожидания Т_о принимается среднее арифметическое значение наработок между отказами _i:

, (3.1)

где n – число отказов, – суммарная наработка на отказ.

Статистически дисперсия оценивается выражением

(3.2)

При малых значениях п вычисленная по этой формуле оценка дисперсии оказывается смещенной. Для устранения систематической погрешности достаточно в знаменателе вместо п применить значение п – 1:

(3.3)

Полученные по этим формулам оценки параметров являются точечными, они оценивают неизвестный параметр Т_о одним числом и фактически представляют собой также случайные величины, хотя и с существенно меньшей дисперсией, чем изучаемая случайная величина Т. На практике часто требуется знать не только точечную оценку параметра, но и интервал, в котором с заданной вероятностью может находиться сам параметр. Такой интервал характеризует собой точность полученной оценки и называется доверительным интервалом. А вероятность, с которой доверительный интервал заключает в себе параметр, характеризует достоверность оценки и называется доверительной вероятностью. Границы интервала принято называть доверительными границами. Если обозначить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала соответственно | ; | то доверительная вероятность  будет выражаться формулой

(3.4)

Формулу (3.4) можно написать и в другом виде

(3.5)

Здесь  – вероятность того, что расхождение между и Т_о не превышает некоторого числа .

Раскроем (3.5). Если > Т_о, то – Т_о  или  –   Т_о. Если Т_о >  , то Т_о –    или   + .

Исходя из этого, можно написать

(3.6)

где –  =  – нижняя граница доверительного интервала; +  =  – верхняя граница доверительного интервала (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Доверительный интервал

Таким образом, интервал, в пределах которого заключено неизвестное значение параметра Т_о (математическое ожидание), называется доверительным, а вероятность того, что неизвестное значение Т_о заключено в пределах этого интервала, называется доверительной.

Если  = 0,9, то это означает, что в 90% случаев обработки статистических данных неизвестное (истинное) значение параметра Т_о заключено в пределах доверительного интервала [ ; ], а в 10% может быть вне его. Отсюда вытекает важное следствие: чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал.

Теперь рассмотрим интервальные оценки для двух наиболее употребительных в инженерной практике законов распределения отказов: экспоненциального и нормального.

Доверительный интервал при экспоненциальном законе распределения отказов. Предположим, что, используя принцип эргодичности, проводится эксплуатация одного образца объекта весьма продолжительное время, т. е. до получения не менее п отказов.

Необходимо найти доверительный интервал | ; | для неизвестного параметра Т_о, если закон распределения отказов экспоненциальный.

При экспоненциальном законе (внезапные отказы) вероятность наступления ровно l отказов подчиняется закону Пуассона

(3.7)

а вероятность наступления не менее п отказов определяется как сумма

(3.8)

Если в формуле (3.8) перейти к новой переменной или и продифференцировать (3.8) по этой новой переменной, то получим плотность вероятности (вспомним, что ). Эта плотность вероятности называется ²-распределением, где ² = 2  t_n/T_о = z. Она имеет вид, показанный на рис. 3.2.

Рис. 3.2. ²-распределение

Если взять интеграл от этой плотности, то получим

или

(3.9)

где  – доверительная вероятность.

Интеграл в выражении (3.9) табулирован, имеются математические таблицы

(3.10)

Обычно и выбирают так, чтобы S₁ = S₂ = S (заштрихованные площади равны, см. рис. 3.2). Тогда S₀ + 2S = 1 или S = (1 – S₀)/2. Но S₀ = ,  = 1 – , где  – вероятность допущения ошибки.

Обычно величиной  в эксплуатации задаются, например, часто берут  = 0,9, тогда риск будет  = 0,1.

Условились обозначать как

Тогда будет

С учетом новых обозначений формулу (3.10) можно написать

Решая относительно Т_О неравенства

,

получим

.

Откуда окончательно имеем

(3.11)

или

где – нижняя, – верхняя граница доверительного интервала

Зная , определяют , /2, 1 – /2 и при k = 2n степеней свободы по таблице приложения 4 находят и

Доверительный интервал при нормальном законе распределения отказов. Пусть требуется оценить T_оп – надежность объекта по постепенным отказам (например, по отказам, связанным со старением и износом). Закон распределения таких отказов (без дополнительной проверки) считается нормальным.