Растяжение-сжатие

Удлинение элемента ds в грузовом состоянии равно

Работа внутренней продольной силы единичного состояния на этом перемещении равна

(6.3)

Кручение

Угол закручивания элемента ds в грузовом состоянии равен

Работа внутреннего крутящего момента единичного состояния на этом перемещении равна

(6.4)

Изгиб в плоскости xoy

Взаимный угол поворота сечений элемента ds в грузовом состоянии определяется формулой (см. курс сопромата):

Работа внутренних изгибающих моментов единичного состояния на данном перемещении равна (6.5)

Аналогично для плоскости xoz:

(6.6)

Сдвиг в плоскости xoy

Угол сдвига в плоскости xoy элемента ds, обусловленный действием

поперечной силы Q_y, определяется по закону Гука: Сдвиг правой грани элемента относительно левой приводит к ее линейному смещению на величину

.

(6.7)

На элемент площади dA в единичном состоянии действует сила . Работа силы в пределах площадки dA равна

(6.8)

Работа сил в пределах всего сечения

(6.9)

Согласно формуле Журавского следовательно

(6.10)

Тогда

(6.11)

Аналогично для плоскости xOz имеем:

(6.12)

Работа V_iF для всей конструкции:

(6.13)

Подставляя A_i,F и V_iF в формулу (6.1), находим:

(6.14)

Таким образом, получена универсальная формула для вычисления перемещений от силового воздействия в стержневых системах. Эта формула называется формулой или интегралом Мора (по имени автора).

При расчете плоских стержневых систем можно пренебречь слагаемыми, определяемыми продольными и поперечными силами (ввиду их небольшого вклада). В этом случае интеграл Мора записывается в виде:

.

При определении перемещений в шарнирно- стержневых системах (фермах), в этой формуле остается только одно слагаемое:

,

Tсли продольная сила по длине стержней не меняется, то формула принимает вид:

.

Формула Мора для конструкций, работающих на изгиб (при условии, что жесткости стержней по длине стержней не изменяются) записывается так:

Правила вычисления интеграла Мора:

По Верещагину: где площадь грузовой эпюры, - ордината единичной эпюры, взятая под центром тяжести грузовой.

По формуле Симпсона:

6.2.Определение температурных перемещений в стержневых системах

Предположим, что на статически определимую стержневую систему, в качестве примера которой рассматривается простая балка на двух опорах, действует температура, как показано на рис. 6.7.

Предположим, что на опорах этой конструкции возникают опорные реакции. Составим уравнения равновесия:

Из этих уравнений видно, что опорные реакции равны нулю. Следовательно, равны нулю и внутренние силы. Таким образом, при действии температуры на статически определимую конструкцию в последней не возникает никаких усилий. Очевидно, однако, что вследствие температурного расширения материала в статически определимой конструкции будут возникать температурные перемещения. Рассмотрим методику определения этих перемещений.

Пусть в конструкции, изображенной на рис. 6.7 требуется найти перемещение точки i в заданном направлении. Обозначим это перемещение . Рассмотрим некоторое возможное состояние конструкции, в котором в точке i на конструкцию действует единичная сила в направлении искомого перемещения. Применим принцип возможных перемещений, причем в качестве возможного будем рассматривать заданное состояние конструкции, а в качестве действительного - единичное состояние. Тогда на основании принципа возможных перемещений получаем

(6.15)

В этой формуле А_2,1, V_2,1- работа внешних и внутренних сил действительного состояния на возможных перемещениях соответственно. Найдем каждую из них в отдельности.

Работа внешних сил равна:

(6.16)

Для определения работы внутренних сил вырежем из конструкции элемент бесконечно малой длины dx и рассмотрим его состояние при действии температуры и при действии единичной силы. Температурное воздействие на элемент представим в виде равномерного нагрева или охлаждения с постоянной температурой по высоте поперечного сечения и неравномерного нагрева с нулевой температурой на оси. Элемент dx, эпюра температур для него и силовые воздействия в единичном состоянии показаны на рис.6.8.

Равномерный нагрев приводит к равномерному расширению элемента dx и при этом его удлинение вдоль оси будет равно

(6.17)

Неравномерный нагрев приводит к укорочению верхних волокон и удлинению нижних. Длина среднего волокна при этом не изменяется. Следовательно, при неравномерном нагреве торцевые сечения элемента будут поворачиваться относительно друг друга и взаимный угол поворота, как видно из рис. 6.8, равен

(6.18)

В приведенных выше формулах  - коэффициент линейного температурного расширения, t_ср – температура на оси или средняя температура, равная (t₁ + t₂)/2, t’ =(t₁-t₂)/2 – приращение температуры на поверхности по сравнению с температурой на оси.

В единичном состоянии на элемент dx действует продольная сила и изгибающий момент (эпюры и показаны на рис.6.7). Эти силы будут совершать работу на перемещениях, рассмотренных выше. Работа продольной силы равна

(6.19)

Работа изгибающего момента определяется выражением

(6.20)

Полная работа внутренних сил в пределах конструкции будет равна сумме элементарных работ, следовательно:

(6.21)

В формуле (6.21) и - площади эпюр продольных сил и изгибающих моментов от единичной силы соответственно.

Подставляя найденное значение работ внешних и внутренних сил в уравнение принципа возможных перемещений (6.15), получаем

(6.22)

В полученной формуле знаки слагаемых определяются по следующим правилам: если температура и единичная сила вызывают деформацию одного знака, то соответствующее слагаемое имеет знак плюс, в противном случае - минус.