Лекция 5

5.1. Определение усилий в статически определимых рамах

Рамой называется конструкция, состоящая из стержней, соединенных между собой жестко или при помощи шарниров. Реальные конструкции рам состоят, как правило, из большого количества стержней и являются статически неопределимыми. Однако, чтобы понять цель расчета рам и форму представления результатов, целесообразно начать с простейших статически определимых конструкций. Один тип таких конструкций, - а именно, трехшарнирная рама, - уже рассмотрен выше. В данном разделе покажем общий подход к расчету статически определимых рам с произвольным очертанием контура.

Расчет сводится к определению внутренних усилий: изгибающих моментов (М), продольных (N) и поперечных (Q) cил.

П р и м е р .

В качестве примера возьмем две конструкции: одну - шарнирно-опертую (рис. 5.1,а) и другую - консольного типа (рис.5.1,б).

В случае рамы рис. 5.1,а расчет следует начать с определения опорных реакций. Для этого составим следующие уравнения равновесия рамы в целом:

Из этих уравнений можно найти все три опорные реакции:

Расчет рамы рис.5.1,б можно выполнить без предварительного определения опорных реакций

Внутренние усилия в статически определимой раме могут быть найдены способом сечений. При этом возможно два подхода.

В первом случае раму разбивают на отдельные стержни, и для каждого стержня получают общие формулы для внутренних усилий. Затем по этим формулам проводят вычисления и строят эпюры внутренних усилий.

Во втором случае вычисляют внутренние усилия в характерных сечениях и по найденным значениям строят эпюры.

В любом случае при вычислении внутренних усилий необходимо

учитывать правило знаков. Для горизонтальных участков целесообразно использовать правила, установленные в курсе сопротивления материалов.

Для вертикальных и наклонных участков правила знаков для поперечных и продольных сил не меняются. Правило знаков для изгибающих моментов можно принять по следующему рисунку.

сжатие

Расчет рамы рис. 5.1,а выполнен по первому способу, а рамы рис. 5.1,б – по второму.

Разобьем раму рис. 5.1,а на четыре участка: A-1, B-1 C-2 и 1-2. Для каждого участка примем свою систему координат, как показано на рис. 5.1,а.

Для произвольных сечений, расположенных на расстояниях х₁, х₂, х₃ от принятых начал отсчета, из условия равновесия отсеченных частей рамы получаем следующие зависимости:

У ч а с т о к А-1:

У ч а с т о к В-1:

У ч а с т о к C-2:

У ч а с т о к 1-2:

Эпюры M,Q,N для рамы рис. 5.1,а приведены на рис. 5.2. При этом значение изгибающих моментов отложены на стороны растянутых волокон.

Для рамы рис. 5.1,б вычислим значения внутренних усилий в характерных сечениях, обозначенных на этом рисунке штрихами.

По вычисленным значениям строим эпюры M,Q,N (см. рис.5.3).

Лекция 6

6.1.Определение перемещений в стержневых системах от силового воздействия

Пусть на некоторую стержневую систему действует произвольная нагрузка. Внутренние силы, соответствующие этому состоянию обозначим индексом “F”. Таким образом, на элемент конструкции длиной ds в этом состоянии действуют внутренние силы

Пусть требуется определить перемещение точки i в заданном направлении. Приложим в этом направлении единичную силу F_i=1. Внутренние усилия, соответствующие этому состоянию, обозначим индексом ‘i’ и чертой сверху. Таким образом, внутренние силы i-ого единичного состояния есть

,

Применим принцип возможных перемещений: если механическая система находится в равновесии, то суммарная работа внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых перемещениях, не противоречащих кинематическим связям системы, равна нулю.

При этом в качестве возможного будем рассматривать заданное состояние, а в качестве действительного - единичное состояние.

Математическая запись принципа возможных перемещений имеет вид:

(6.1)

В уравнении (6.1) А_iF – работа внешних сил единичного состояния на перемещениях грузового, V_iF - работа внутренних сил единичного состояния на перемещениях грузового.

Работа внешних сил находится так:

(6.2)

т.к.

Работу внутренних сил единичного состояния на перемещениях грузового найдем сначала в пределах элемента ds, причем сделаем это отдельно для каждой составляющей внутренних сил.