Примеры расчета многопролетной статически определимой балки
Пример1: Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки, изображенной на рис.2.11,а.
Решение.
Конструкция состоит из двух балок 1-3 и 3-6. Балка 1-3 является основной, так как она может самостоятельно нести приложенные к ней нагрузки. Балка 3-6 является подвесной. В точке 3 она опирается на основную балку и имеет одну опору в точке 5. Схема взаимодействия балок (поэтажная схема) приведена на рис.2.11,б.
Расчет начинаем с верхней на поэтажной схеме балки 3-6. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для этой балки, полученные методами сопротивления материалов, приведены на рис.2.11,в. При этом предварительно были найдены реакции балки 3-6 на опоре 3. На втором этапе рассчитываем балку 1-3, приложив к ней наряду с заданными внешними силами давление, которое передается с вышележащей балки 3-6. Это давление равно взятой с обратным знаком реакции балки 3-6 на опоре 3. Результаты расчета балки 1-3 приведены на рис.2.11,г. Чтобы получить окончательные результаты для заданной многопролетной балки, необходимо объединить эпюры, полученные для составляющих простых балок.
Лекция 3
3.1. Определение усилий в трехшарнирных арках и рамах
Расчет трехшарнирных арок и рам (рис. 3.1) имеет ряд особенностей, которые и рассматриваются в данном разделе.
Эти
конструкции являются статически
определимыми, так как состоят из двух
дисков, соединенных между собой при
помощи шарнира, эквивалентного двум
кинематическим связям, и прикрепленным
к основанию с помощью четырех опорных
стержней. Следовательно, степень свободы
конструкции равна
Таким образом, конструкция не имеет
лишних связей и является статически
определимой. Конструкция является
неизменяемой, т.к. ее можно рассматривать
состоящей из трех дисков, соединенных
между собой при помощи трех шарниров,
не лежащих на одной прямой (рис.3.2).
О
пределение
опорных реакций
В трехшарнирных системах при действии вертикальной нагрузки на опорах возникают, как правило, вертикальные и горизонтальные реакции. Поэтому эти системы принято называть распорными. Рассмотрим методику определения опорных реакций.
Пусть трехшарнирная арка нагружена, как показано на рис. 3.3.
В
ертикальные
составляющие опорных реакций могут
быть найдены так же, как и в простой
балке на двух опорах, из уравнений
равновесия в виде суммы моментов всех
сил относительно опорных точек. В данном
случае эти уравнения имеют вид
Горизонтальные составляющие опорных реакций могут быть найдены из условия равенства нулю изгибающего момента в шарнире “c”.
Вычисляя момент в шарнире “c” через левые силы, получаем
|
(3.1) |
Выражая момент в шарнире “c” через правые силы, находим
|
(3.2) |
При действии только вертикальных нагрузок (в рассматриваемом примере при F3=0) формулы (3.1) и (3.2) принимают вид
|
(3.3) |
В формулах
(3.3) через
обозначен изгибающий момент в простой
балке, перекрывающей такой же пролет и
нагруженный такими же силами, как и
арка.
Очевидно, что
в этом случае
Горизонтальная реакция в трехшарнирной
арке называется распором и обозначается
буквой H. Из формул
(3.3) получаем
|
(3.4) |
В дальнейшем будем рассматривать расчет трехшарнирных арок на действие только вертикальной нагрузки. Получим формулы для определения внутренних усилий.
Предположим, что арка нагружена, как показано на рис. 3.8,а, и для нее найдены опорные реакции. Получим формулы для определения внутренних усилий.
Рассечем арку на две части в сечении, расположенном на расстоянии х от начала координат (рис. 3.8,б). Внутренние напряжения, действующие в сечении, заменим эквивалентным моментом М и эквивалентной силой R, а последнюю, в свою очередь, разложим на составляющие в направлении касательной (N) и перпендикуляра к оси арки (Q). Касательную составляющую назовем продольной, а перпендикулярную составляющую – поперечной силой. Из уравнений равновесия отсеченной части легко получить следующие соотношения:
|
(3.5) |
В формулах
(3.5)
есть изгибающий момент и поперечная
сила в сечении x простой
балки, перекрывающей тот же пролет и
несущей те же нагрузки.
Для построения
эпюр внутренних усилий пролет арки
разбивается на несколько равных частей;
по уравнению оси арки, которое обычно
бывает известно, определяется угол
наклона касательной
на границах участков, и по формулам
(3.18) вычисляются внутренние усилия. При
наличии в каком-либо сечении внешних
сосредоточенных сил и моментов внутренние
силы вычисляются дважды – слева от этой
силы (момента) и справа от нее.
Очертания оси арки можно выбрать таким, чтобы изгибающие моменты во всех сечениях были равны нулю. Из первой формулы (3.5) имеем
|
|
Отсюда
|
|
Таким образом, если принять ординаты оси арки равными балочному изгибающему моменту, деленному на величину распора, изгибающие моменты в такой арке будут равны нулю. Такие ординаты оси арки являются наиболее рациональными при данной нагрузке.
Примеры расчета трехшарнирной арки.
Пример 1.
Для сплошной трехшарнирной арки требуется определить аналитически изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях к1 и к2 от действия постоянной заданной нагрузки.
Дано: ℓ = 32м; q = 6кН/м; f/ℓ = 0,35; Р = 3кН.
Очертание оси арки – окружность.
,
где R- радиус окружности,
по которой очерчена арка.
Уравнение оси:
;
Функции угла наклона касательной:
.
ешение:
Вычисление геометрических характеристик:
f = 0,35ℓ = 0,35*32 = 11,2м;
м;
2) Вычисление опорных реакций:
Проверка:
Вертикальные реакции найдены верно.
Поверка:
Горизонтальные реакции найдены верно.
3. Вычисление внутренних усилий
Балочные значения:
Усилия в сечениях арки:
Пример2. Определить изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях к1 и к2 от действия заданной нагрузки.
Дано: Р=6 кН,
q=4 кН/м, l=20
м, f=6 м, ось арки -
парабола. Уравнение оси:
.
Решение.
1. Вычисление геометрических характеристик сечений.
По уравнению оси находим:
Ординаты сечений:
Характеристики углов наклона касательных к оси:
2. Определение опорных реакций
Проверка:
Вертикальные реакции найдены верно.
Поверка:
Горизонтальные реакции найдены верно.
3. Вычисление внутренних усилий
Балочные значения:
Усилия в сечениях арки:
