2.1. Построение формальной модели движения тела, брошенного под углом к горизонту

Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату нужную скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенной высоты, находящуюся на известном расстоянии.

Описательная модель. Построим модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные допущения:

• мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

• изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с² и движение по оси OY можно считать равноускоренным;

• скорость бросания тела мало, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси ОХ можно считать равномерным.

Формальная (математическая) модель. Для формализации модели обозначим величины:

• начальная скорость мяча – ν₀;

• угол бросания мячика – α;

• высота стенки – h;

• расстояние до стенки – s.

Рис.2.График движения мячика

Для определения координат мячика используем формулы равномерного и равноускоренного движения. Дальность х и высоту у, при заданной начальной скорости ν₀ и угле бросания α для любого момента времени t можно вычислить по формулам:

х = ν₀ ∙ cosα ∙ t, (1)

у = ν₀ ∙ sinα ∙ t – g ∙ t²/2 (2)

Из первой формулы выражаем время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние x:

t = x / ν₀ ∙ cosα. (3)

Для вычисления координаты у в момент времени, когда мячик будет находиться на расстоянии x, подставляем значение времени t в формулу для вычисления координаты у:

y = x ∙ tgα – g ∙ x²/(2 ∙ ν₀² ∙ cos²α). (4)

Чтобы определить, попадет ли мячик в стенку, необходимо вычислить его координату у в момент времени, когда он будет находиться на расстоянии s:

t = s / ν₀ ∙ cosα (5)

y = s ∙ tgα – g ∙ s²/(2 ∙ ν₀² ∙ cos²α) (6).

Формализуем теперь условие попадание мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты мячика y будет удовлетворять условию в форме неравенства:

0 ≤ y ≤ h.

Если y < 0, то это означает «недолет», а если y > h, то это означает «перелет».

2. 2. Построение компьютерной модели бросания мячика в стенку в электронной таблице Microsoft Excel

Рис.3. Содержательная постановка задачи

В ячейку В1 вводим начальную скорость бросания мячика υ_o= 18 м/с, а значения четырех углов бросания 20°, 40°, 60° и 80° – соответственно в ячейки В2, D2, F2 и H2.

Рис.4. Условие задачи

В ячейки А4:А21 ввести значения координаты мячика х с интервалом в 2 м. Для заданных значений координаты мячика х по формуле (3) вычислим значение времени t, а по формуле (2) координаты мячика у.

В электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются в радианах, поэтому необходимо преобразовать значения углов из градусов в радианы с помощью функции РАДИАНЫ().

Рис.5. Значения координат х с интервалом в 2 м

Далее вводим ячейку В4 формулу =$A4/($B$1*COS(РАДИАНЫ(B2))) и в ячейку С4 формулу =$B$1*SIN(РАДИАНЫ(B2))*B4 – 4,9*B4*B4.

Рис6. Формула вычисления значения времени, t

Рис.7. Формула вычисления координаты мячика, y

Далее копируем введенные формулы в ячейки D4, F4, H4, и E4, G4, I4 соответственно.

Затем устанавливаем в формулах абсолютные ссылки на ячейки $B$2, $D$2, $F$2, $H$2.

Рис.8. Абсолютная ссылка на ячейку B1-начальную скорость бросания мячика и B2-Угол бросания 20 градусов для значения времени, t

Рис.9. Абсолютная ссылка на ячейку B1-начальную скорость бросания мячика и B2-Угол бросания 20 градусов для координат мячика, у

Аналогично устанавливаем в формулах абсолютные ссылки на ячейки $D$2, $F$2, $H$2.

Далее выделяем диапазон ячеек В4:I4 и, используя маркер заполнения, скопировать его в диапазон ячеек В5:I21.

В столбцах С, D, F и H получаем координаты мячика по оси У для четырех углов бросания, соответствующие значениям координаты мячика по оси X, указанным в столбце А , которые показаны на рисунке 10.

Рис.10. Координаты движения мячика для четырех углов бросания

Визуализируем модель, построив графики зависимости координаты у от координаты х (траекторию движения мячика) для четырех углов бросания. Для построения траектории движения мячика используем диаграмму типа График.

При построении графика в качестве категорий используем диапазон ячеек А4:А21, а в качестве значений – диапазоны ячеек С4:С21, Е4:Е21, G4:G21, I4:I21

Рис.11.Координаты и траектории движения мячика для четырех углов бросания

Далее исследуем модель и определим с заданной точностью (например, 0,1°) диапазон углов бросания, которые обеспечивают попадание мячика в стенку.

В качестве начальных условий бросания мячика выберем, например, следующие: скорость бросания υ_o= 18 м/с, высота стенки h = 1 м, расстояние до стенки s = 30 м, значение угла бросания α = 40°.

Затем, заполняем ячейки с текстовой информацией.

Вводим:

• в ячейку В23 – значение расстояния до стенки;

• в ячейку В24 – значение начальной скорости;

• в ячейку В25 – значение угла бросания;

• в ячейку В27 – формулу для вычисления высоты мячика в момент попадания в стенку для заданных начальных условий: = B23*TAN(РАДИАНЫ(B25))-(9,81*B23^2)/(2*B24^2*COS(РАДИАНЫ(B25))^2)

Рис.12. Определение диапазона углов методом Подбор параметров

Для заданных начальных условий (скорости бросания и расстояния до стенки) проведем поиск углов, которые дают попадание в стенку на высотах 0 и 1 м. Используем для этого метод Подбор параметра.

Надстройка Подбор параметра в электронных таблицах Microsoft Excel установлена по умолчанию.

Методом Подбор параметра будем сначала искать значение угла бросания, которое обеспечит попадание мячика в стенку на минимальной высоте 0 метров. В данном случае значение функции (высота мячика при попадании в стенку) хранится в ячейке В27 (см. рис. 12), а значение аргумента (угла бросания) – в ячейке В25. Значит, необходимо установить в ячейке В27 значение 0 и методом Подбор параметра найти соответствующее значение аргумента в ячейке В25.

Выделить ячейку В27, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Сервис-Подбор параметра…].

В появившемся диалоговом окне (рис. 13) ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в стенку (т. е. 0). В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$25, содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.

Рис.13. Ввод данных для метода Подбор данных

В ячейке В25 появится значение 32,6, т. е. минимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях.

Рис.14. Определение диапазона углов методом Подбор параметра

Методом Подбор параметра найдем теперь угол бросания, который обеспечит попадание мячика в стенку на максимальной высоте 1 метр.

Выделить ячейку В27, содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Сервис-Подбор параметра...].

В появившемся диалоговом окне ввести в поле Значение: наибольшую высоту попадания в стенку (т. е. 1).

В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки $В$25, содержащей значение угла бросания. Щелкнуть по кнопке ОК.

Рис.15. Ввод данных для метода Подбор данных

В ячейке В25 появится значение 36,1, т. е. максимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание в стенку при заданных начальных условиях.

Рис.16. Определение диапазона углов методом Подбор параметра

Аналогично повторим процедуру определения диапазона углов при начальном значении угла в ячейке В25, равном 60°.

Получим значения предельных углов 55,8° и 57,4°, т. е. второй диапазон углов.

Ввести полученные значения углов 32,6°, 36,1°, 55,8° и 57,4° соответственно в ячейки B2, D2, F2 и H2. На диаграмме можно проследить за изменением траекторий движения мячика на рисунке 17.

Рис.17. Координаты и траектории движения мячика для двух диапазонов углов бросания

Анализ результатов. Исследование компьютерной модели в электронных таблицах показало:

1. при одинаковой начальной скорости мячик преодолевает большие расстояния при углах бросания в диапазоне от 20° до 80°;

2. существует два диапазона значений угла бросания мячика от 32,6° до 36,1° и от 55,8° до 57,4°, при которых обеспечивается попадание в стенку высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с;

3. время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние до мишени увеличивается с возрастанием угла бросания.