Тема 23. Теорема ляпунова

Теорема Ляпунова. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин , можно подобрать такое , что при

,

то при равномерно по х

.

 Достаточно проверить, что условие Ляпунова влечет за собой выполнение условия Линдеберга:

Локальная предельная теорема

Дискретная случайная величина имеет решетчатое распределение, если , что все возможные значения , где параметр .

Лемма. Для того, чтобы случайная величина имела решетчатое распределение необходимо и достаточно, чтобы при некотором , модуль ее характеристической функции был равен 1.

 Если распределение решетчато, и - вероятность равенства , то характеристическая функция величины равна

.

Отсюда находим, что

.

Т. о., для каждого решетчатого распределения .

Достаточность. Пусть при некотором . Докажем, что при этом имеет решетчатое распределение. Последнее равенство означает, что при некотором

Т. о., , .

Отсюда вытекает, что .

Для того, чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы функция могла расти только при тех значениях , при которых . Это означает, что возможные значения должны быть вида .

Число будем называть шагом распределения.

Шаг распределения максимален, если ни при каких ( ) и нельзя представить все возможные значения в виде .

В других терминах:

1. Шаг распределения будет максимальным, когда НОД попарных разностей возможных значений равен 1.

2. Шаг максимален тогда и только тогда, когда модуль характеристической функции в промежутке меньше, и при равен 1. Это вытекает из доказанной леммы.

Вывод. Если максимальный шаг, то для каждого найдется такое число , что при всех в интервале имеет место неравенство

(1)

Пусть теперь величины взаимно независимы, решетчато распределены и имеют одну и ту же функцию распределения . Рассмотрим сумму .

Очевидно, что она также является решетчатой случайной величиной и возможные ее значения могут быть записаны в виде . Пусть вероятность равенства . Обозначим

, (2)

где .

Теорема. Пусть независимые случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения и их математические ожидания и дисперсии конечны. Тогда для того, чтобы равномерно относительно при имело место соотношение

необходимо и достаточно, чтобы шаг распределения был максимален.

 Необходимость теоремы почти очевидна. Если не максимален, то возможные значения будут содержать систематические пропуски: разность между ближайшими точками не может быть меньше , где – НОД разностей возможных значений , деленных на . Если не максимальный шаг, то при всех значениях .

Достаточность. Характеристическая функция величины равна

,

а характеристическая функция суммы есть

.

Умножим последнее равенство на и проинтегрируем от - до , получим

.

Заметив, что (далее индекс при Z опускаем) напишем

,

где . Положим , окончательно

.

Легко подсчитать, что

Представим разность

В виде суммы четырех интегралов , где

где А ‑ достаточно большое, ‑ достаточно малые числа, их точные значения выберем позже.

Из теоремы Ляпунова в любом конечном интервале значений равномерно относительно выполняется соотношение

,

следовательно, при любом .

Интеграл оценивается посредством неравенства

.

Выбрав достаточно большое А, мы можем сделать сколь угодно малым.

Согласно неравенству (1) имеем

Ясно, что при .

Для оценки интеграла заметим, что существование дисперсии влечет за собой существование второй производной у функции

Мы можем воспользоваться в окрестности точки согласно теореме 4 о простейших свойствах характеристических функцций разложением

При , если достаточно мало, получим

Тогда при

Поэтому

Выбором достаточно большого А можно добиться чтобы был сколь угодно мал. 