Тема 21. Предельные теоремы

ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Чтобы приложить характеристические функции к выводу асимптотических формул необходимы прямая и обратная теоремы.

Эти теоремы говорят, что соответствие между характеристическими функциями не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая предельная теорема. Если последовательность функций распределения сходится в основном к функции распределения , то последовательность характеристических функций сходится к характеристической функции . Эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале .

 Т. к.

и функция непрерывна и ограничена на всей прямой , то согласно 2-ой обобщенной теореме Хелли при . Равномерная сходимость в каждом конечном интервале проверяется буквально теми же рассуждениями, какие мы провели при доказательстве 2-ой теореме Хелли. 

Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций

(1)

сходится к непрерывной функции , то последовательность функций распределения

(2)

сходится в основном к некоторой функции распределения .

 Из 1-ой теоремы Хелли: последовательность (2) непременно содержит подпоследовательность

, (3)

сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции . При этом мы можем считать ее непрерывной слева:

.

Вообще говоря, может и не быть функцией распределения, т. к. для этого должны выполняться условия .

В самом деле, если бы это было не так, то, приняв во внимание, что для предельной функции должно быть , мы имели бы

Возьмем какое-нибудь меньшее . По условию теоремы последовательность характеристических функций (1) сходится к непрерывной функции , то

. Сверх того непрерывна, следовательно, можно выбрать достаточно малое , что будет иметь место неравенство

. (4)

Но в то же время можно выбрать и настолько большое К, чтобы при было

.

Т. к. – характеристическая функция, то

.

Оценим интеграл в правой части равенства. С одной стороны, т. к. , то . С другой стороны и т. к. , то при

.

Применив 1-ю оценку при и 2-ю оценку при , получим.

Следовательно, . Это неравенство сохраняется и в пределе:

,

что очевидно противоречит неравенству (4).

Т. о., , к которой сходится в основном последовательность есть функция распределения; согласно прямой предельной теореме ее характеристическая функция равна .

Докажем, что вся последовательность (2) сходится в основном к функции . Предположим противное. Тогда найдется подпоследовательность

,

сходящаяся в основном к некоторой функции , отличной от . По уже доказанному должна быть функцией распределения с характеристической функцией . По теореме единственности должно быть = , что противоречит сделанному предположению. 

Тема 22. Центральная предельная теорема

Теорема Линдеберга

Начнем с доказательства достаточности условия Линдеберга.

Теорема. Если последовательность взаимно независимых случайных величин , к-рые имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

,

при любом постоянном удовлетворяет условию Линдеберга

, (1)

то при равномерно относительно х

.

 Обозначим

; .

Очевидно, что

. (2)

В этих обозначениях условие Линдеберга принимает вид:

. (1')

Характеристическая функция суммы

равна .

Нам нужно доказать, что

.

С этой целью установим, прежде всего, что множители при равномерно относительно стремятся к 1.

Действительно, принимая во внимание равенство находим, что . Получим полезное соотношение:

.

Отсюда вытекает неравенство

. (3)

Продолжая, получим

Тогда

.

Пусть – произвольное положительное число, тогда

Т. о., при достаточно больших n равномерно относительно k и в любом конечном интервале

.

Отсюда заключаем, что n равномерно относительно k

(4)

и что для всех достаточно больших при , лежащих на интервале

, (5)

следовательно в интервале можно написать разложение

,

где .

В силу(5)

^{Т. к.}

то

Из (4) вытекает, что равномерно относительно в любом конечном интервале , при

. (7)

Но , (8)

где .

Пусть произвольно, тогда в силу (2)

Неравенства (3) и следующее за ним позволяют получить следующую оценку:

Согласно условию (1) 2-е слагаемое может быть сделано меньше любого , лишь бы было достаточно большим. А т. к. произвольно, то мы можем его выбрать настолько малым, чтобы, каковы бы ни были и Т, для всех , заключенных в интервале выаполнялось неравенство

.

Это неравенство показывает, что равномерно в каждом конечном интервале значений

. (9)

Собрав вместе (6), (7), (8) и (9) мы получаем окончательно, что равномерно в каждом конечном интервале



Следствие. Если независимые случайные величины , одинаково распределены и имеют отличную от нуля дисперсию, то при равномерно по х

.

 Достаточно проверить, что при сделанных предположениях выполнено условие Линдеберга. Заметим, что

.

Очевидно

Дисперсия конечна и положительна, следовательно, интеграл при .