Тема 8. Распределение функций от случайных величин.

8.1. Распределение монотонных функций случайной величины.

Пусть – функция распределения непрерывно случайной величины .

– монотонно возрастающая функция.

– обратная функция.

Найти функцию распределения случайной величины .

8.2. Функция распределения двух случайных аргументов.

– совместная плотность распределения случайных величин.

8.3. Распределение суммы

Найти функцию распределения

,

если — плотность распределения вероятностей .

Искомая функция равна вероятности попадания точки в полупространство , и следовательно

.

Рассмотрим подробнее случай .

Если и независимы, то

Таким образом, в общем случае

₍₁₎

для независимых с. в.

.

Композиция законов распределения.

Пусть и независимы и равномерно распределены в интервале . Найдем плотность распределения .

или .

Т. к. , то . Очевидно, что при . Следовательно, если , то

.

Точно также при , то

Собрав вместе полученные результаты, получаем закон распределения Симпсона:

8.4. Хи-квадрат распределение.

– вероятность попадания внутрь шара

При =3 мы получаем известный закон распределения Максвелла:

. (2).

Из формулы (2) легко вывести плотность распределения величины . Эта плотность нулю при , а при

.

Распределения величин, тесно связанных с и часто используемых на практике, сведем в следующую таблицу.

Величина	Плотность распределения при

Тема 9. Функция распределения частного

9.1. Функция распределения частного.

Пусть плотность распределения вероятностей величины равна . Требуется найти функцию распределения частного .

По определению

Если и изображают координаты точки на плоскости, то равна вероятности того, что точка попадает в область, координаты которой удовлетворяют неравенству .

Согласно общей формуле искомая вероятность равна

(3)

Если и независимы, а и их плотности распределения, то

Продифференцировав (3) находим:

(4)

В частности, если и независимы,

. (5)

9.2. Закон Коши

Случайная величина распределена по нормальному закону:

_.

Найти функцию распределения частного .

По формуле (4)

_{Введем под знаком интеграла замену, обозначив через u показатель.}

Выражение для при этом принимает вид:

_.

_{В частности, если}

и независимы, то — закон распределения Коши.

9.3. Распределение Стьюдента

Найти функцию распределения частного , где и независимы, причем распределена по нормальному закону

,

а по закону .

Согласно формуле (5) для плотности частного независимых с. в.

.

Сделав замену , находим, что

.

9.4. Поворот осей координат

По функции распределения двумерной с. В. Найти функцию распределения величины

Обозначим через и плотности распределения величин и . Из тригонометрических уравнений находим

И, следовательно

. (6)

Это равенство дает возможность получить формулу, связывающую функции распределения векторов и .

Пусть двумерная случайная величина распределена по нормальному закону:

_.

Найти плотность распределения случайной величины

Согласно (6)

где

Из полученной формулы заключаем, что поворот осей переводит нормальное распределение в нормальное.

Заметим, что если угол выбран так, что

, то и

Это равенство означает, что любая нормально распределенная с. в. путем поворота осей координат может быть приведена к системе двух нормально распределенных независимых с. в.