Тема 4. Случайные величины

Пример. Будем фиксировать число выпавших "орлов" при подбрасывании 2-х монет. В зависимости от исхода опыта их число может оказаться равным 0, 1, 2. Построим математическую модель опыта. В качестве элементарных событий выберем следующие:

= ОО  на первой монете "орел", на второй монете "орел",

= РО  на первой монете "решка", на второй монете "орел",

= ОР  на первой монете "орел", на второй монете "решка",

= РР  на первой монете "решка", на второй монете "решка".

Поставим в соответствие событиям случайную величину (СВ) Х, равную количеству выпавших "орлов":

,

,

,

.

Нас интересуют вероятности, с которыми СВ Х примет то или иное значение из множества возможных значений 0, 1, 2:

,

,

,

т.е. при построении мат. модели в данном случае можно было бы объединить события РО и ОР в одно и рассматривать события 0, 1, 2.

Мы пришли к тому, что пространство элементарных событий в данном случае можно уменьшить, если задавать возможные значения СВ с соответствующими вероятностями. Это и есть случайная величина. Если составим таблицу (табл. 2), то получим ряд распределения СВ.

Таблица 2

xi	0	1	2	значения дискретной СВ
pi	1/4	1/2	1/4	соответствующие вероятности

Строгое определение случайной величины дано А.Н. Колмогоровым [6]. До это пользовались определением Пуассона как "некоторой вещи", которая способна принимать значения соответственно с вероятностями .

СВ дискретна, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества или, другими словами, если существует конечное или счетное множество чисел , таких, что

и .

СВ обозначают прописными буквами X, Y, Z, ..., а значения строчными  x, y, z, ... .

Ряд распределения задает закон распределения СВ. Образуем числовую функцию от ряда распределения. Функция распределения F(x) определяется формулой

или ,

тогда ,

где сумма по всем значениям i, для которых x_i < x, а .

Тема 5. Дискретные распределения

5.1. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Целочисленная величина Х, принимающая значения от 0 до n, имеет биномиальное распределение, если задается формулой Бернулли

k = 0, 1, ..., n , 0 < p < 1, q = .

СВ, равная числу успехов в n испытаниях Бернулли, имеет биномиальный закон распределения.

5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

При больших значениях n вычисление вероятностей по формуле Бернулли становится затруднительным. Однако в ряде случаев удается ее заменить приближенной асимптотической формулой. В частности, если n велико, а вероятность успеха мала, то

Замена формулы Бернулли формулой Пуассона оправдана при npq < 9. СВ Х имеет распределение Пуссона с параметром , если

k = 0, 1, ... , > 0.

Тема 6. Непрерывные распределения

6.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления некоторого события в независимых испытаниях постоянна и равна то вероятность того, что событие А наступит ровно раз удовлетворяет соотношению

равномерно для всех , для которых находится в каком-либо конечном интервале.

 Используем формулу Стирлинга , в которой остаточный показатель удовлетворяет неравенству .

Условие для запишем в виде:

Эти неравенства показывают, что если х принадлежит ограниченному отрезку, то вместе с .

Применим формулу Стирлинга:

Где .

Видно, что каков бы ни был отрезок величина равномерно относительно в этом отрезке стремится к нулю при . Следовательно множитель при том же условии равномерно стремится к 1.

Рассмотрим теперь величину

В условиях теоремы величины и при достаточно больших могут быть сделаны как угодно малыми, поэтому можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд.

,

.

и равномерно относительно в любом конечном отрезке

Приведенные результаты доказывают теорему. ■

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Говорят, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , если плотность ее распределения задается формулой:

.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

Теорема. Если – число наступлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна , то равномерно относительно и при имеет место соотношение

□

,

где .

Т. к. ,

Равномерная сходимость доказывается следующим образом. На основании локальной теоремы остаточный член при равномерно относительно . При промежуточных значениях

.

Т.к. , то ясно, что ■