Тема 2. Вероятности сложных событий

В практических задачах часто возникает вопрос о том, насколько согласуются наши предположения (гипотезы) с непосредственно наблюдаемыми событиями. Поскольку можно выдвигать несколько гипотез, то они должны обладать свойствами полной группы событий, т.е.

Полную группу событий называют также системой гипотез и обозначают H₁ , H₂ , ..., H_n .

Теорема. Если H₁ , H₂ , ..., H_n  система гипотез, то вероятность любого события А выражается через его условные вероятности по формуле полной вероятности:

P(A) = P(A|H₁) P(H₁) + ... + P(A|H_n) P(H_n)

□

Т.к. H_i и H_j несовместны, то и также несовместны. Расписав каждое слагаемое по формулам сложения и умножения вероятностей, получим:

P(A) = P(A|H₁) P(H₁) + ... + P(A|H_n) P(H_n). ■

ФОРМУЛА БАЙЕСА

Допустим, что произведен опыт, в результате которого появилось событие А. На основании этого результата требуется узнать, как изменились вероятности гипотез после проведенного опыта.

Теорема. Если H₁ , H₂ , ..., H_n  система гипотез, то вероятность k-ой гипотезы при появлении события А выражается формулой Байеса

□ По формуле умножения вероятностей:

получаем .

Знаменатель расписываем по формуле полной вероятности. ■

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Вероятность может являться мерой качественных признаков, например успеха или неудачи. Рассмотрим это на примере испытаний Бернулли.

Испытанием Бернулли называется конечное число n последовательных независимых испытаний, в каждом из которых может произойти 2 исхода: успех или неудача.

Вероятность успеха обозначается р, неудачи Определим вероятность любого элементарного исхода в n испытаниях. Рассмотрим любой элементарный исход , при этом i1, ..., in  конкретная последовательность нулей и единиц, соответствующая последовательности неудач или успехов в каждом из n индивидуальных испытаний, тогда

Т.е. если общий элементарный исход включает k успехов n-k неудач, то его вероятность равна

.

Если нас интересует вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов, то ее определим как сумму вероятностей элементарных событий, характеризующихся k успехами. Следовательно, для нахождения надо определить число элементарных событий, т.е. установить сколькими способами могут быть на n мест расставлены k единиц. Число таких выборок, как известно равно числу сочетаний из n по k, т.е. .

Окончательно получаем

.

Тема 3.Аксиоматика а.Н.Колмогорова

Рассмотренные свойства вероятностей могут использоваться лишь для ограниченного круга практических задач. В рамках классической модели сложно ответить на такой простой вопрос, к какой величине стремятся значения частот при бесконечном увеличении числа элементарных событий, если по определению вероятность элементарного события обращается в нуль?

Развитие естествознания в начале ХХ столетия предъявило теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством дедукции из этих основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам "согласно здравому смыслу". Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука  геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.

Необходимость аксиоматического построения теории вероятностей была сформулирована Гильбертом в 1900 г. среди 19 научных проблем. Проблемой № 6 была обозначена проблема аксиоматического построения теории вероятностей и физики. Аксиоматическое построение теории вероятностей принадлежит А.Н. Колмогорову, работы которого положили начало созданию современной теории вероятностей как строгой математической науки [6].

Для построения теории нужно выделить первичные понятия, а из них получать все остальные. Изложенный материал убеждает нас в такой возможности. На практическом примере мы убедились, что основополагающие теоремы сложения и умножения дают одинаковый результат при одних и тех же исходных данных. Следовательно, одну из этих теорем можно получить из другой, т.е. сузить объем первичных определений.

Вторым шагом при переходе к теории является обобщение алгебры событий. Если мы ввели понятие противоположного события, то произведение событий следует из суммы событий.

Пусть алгебра событий обладает следующими свойствами:

1) Если определена вероятность события , то она должна быть определена и для противоположного события .

2) Если , то и .

Пусть и  любые два события, принадлежащие . По определению события и и их пересечение также принадлежит . Но тогда и событие , противоположное событию принадлежит . Но событие, противоположное пересечению , согласно принципу двойственности совпадает с объединением событий, противоположных событиям и , т.е. с событием :

Следовательно, содержит, наряду с любыми двумя входящими в него событиями и , и их объединение .

Далее необходимо потребовать, чтобы алгебра событий содержала не только конечные, но и все счетные объединения входящих в него событий, т.е.

, если

Алгебра событий, обладающая таким свойством, называется -алгеброй, или борелевским полем событий.

Следующим шагом при переходе к теории является введение вероятностного пространства .

В общей аксиоматике теории вероятностей сохраняется понятие множества элементарных событий, которое не обязано быть счетным, и понятие события как подмножества . Однако не требуется, чтобы любое подмножество было событием, требуется лишь, чтобы теоретико-множественные операции, производимые над событиями в счетном числе, приводили опять к событиям. Множество всех рассматриваемых событий обозначается буквой .

Требуется, чтобы удовлетворяло некоторой системе аксиом:

Аксиома 1. .

Аксиома 2. Если то .

Аксиома 3. Если то .

Введенная система аксиом, очевидно, определяет -алгебру.

Теперь остается определить саму вероятность. Определение вероятности дается в следующих аксиомах. Каждому событию А ставится в соответствие число Р(А), называемое вероятностью события А, удовлетворяющее условиям:

Аксиома 4. .

Аксиома 5. Если множества не пересекаются

,

то .

Это равенство называется свойством счетной аддитивности вероятности. Мы видим, что аксиоматическое определение вероятности гораздо шире и как частный случай включает в себя и классическое определение.

При дальнейшем изучении теории вероятностей мы увидим, что аксиоматическое построение теории вероятностей отправляется от основных свойств, подмеченных на примерах классического определения. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.