6.3. Исходные уравнения многофазной фильтрации

Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.

Уравнения неразрывности.

первой фазы ; (6.7)

второй фазы ; (6.8)

Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.

Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то вместо уравнений (6.7) и (6.8) имеем

, . (6.9)

Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации будем предполагать, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическо равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости k_i() и капиллярное давление р_к (), зависящее только от насыщенности.

Будем рассматривать только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (6.4):

, (6.10)

а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (6.5) и (6.6):

, (6.11)

Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать связи параметров, характеризующих свойства фаз и пористой среды, с давлением.

Уравнения состояния флюидов. При изотермических условиях фильтрации плотность и вязкость каждой из фаз определяются давлением в данной фазе:

_i=_i(p_i), _i=_i(p_i), (i=1,2). (6.12)

Пласт будем считать недеформируемым.

Таким образом, получена замкнутая система уравнений (6.7), (6.8), (6.10), (9.11) и (9.12) для определения всех неизвестных параметров: насыщенности , давления p_i , скорости фильтрации u_i,. плотности _i и вязкости _i фаз.

Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена.

Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей.

6.4. Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:

• жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

• жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда - недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

• относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

• гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.6.3) уравнения неразрывности (6.9) для фаз имеют вид

, . (6.13)

Обобщенный закон Дарси (6.10) сводится к уравнениям

,

. (6.13)

Здесь  - угол наклона оси х к горизонту (см. рис. 6.3); ₁ и ₂ - плотности фаз.

Неизвестные характеристики течения , u₁, u₂, p₁ и p₂ зависят от координаты х и времени t.

Уравнения (6.12), (6.13) с учетом (6.11) образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности. Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ней жидкостью.

Данное уравнение представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка. Точное решение этого уравнения получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ.

Начальные и граничные условия. При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции  в зависимости от пространственных координат при t=0. Можно считать, что при t=0 насыщенность всюду постоянна (например, =_*).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости_фильтрации нефти; из последнего условия вытекает (см. формулу (6.13)), что k₂=0, следовательно, на этой поверхности =_*.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при x=L, откуда следует, что

при x=L. (6.14)

2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения *. В момент достижения значения * вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Остановимся на двух наиболее изученных моделях двухфазной фильтрации.

Модель Рапопорта—Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта—Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели – параболического типа и решается разностным методом.

Модель Баклея—Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея - Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка, которые обычно решаются методом характеристик и имеют свои существенные особенности, при решении по сравнению с параболическими уравнениями.