3. Третий учебный вопрос. Напряжения при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечениях стержня имеется только изгибающий момент. На рисунке 9, а показана балка с сеткой на боковой поверхности до деформации, а на рисунке 9, б – после деформации.

Рисунок 9 – Вид сетки до деформации (а) и после деформации (б)

Экспериментально получены следующие результаты.

1. Поперечные линии остаются прямыми и перпендикулярными оси балки. Значит сечения остаются плоскими.

2. На выпуклой стороне линии удлиняются, на вогнутой укорачиваются. В средней части имеется нейтральный слой. В нем длина линий не меняется.

3. Расстояния между продольными линиями не меняется, значит волокна не надавливают друг на друга, а только растягиваются или сжимаются.

Можно показать, деформация растянутого волокна АВ выразится как ε = у / ρ (рисунок 10). Тогда в соответствии с законом Гука

(2)

Рисунок 10 – Распределение нормальных напряжений при изгибе

Из формулы (2) видно, что нормальные напряжения изменяются в сечении по линейному закону, как показано на рисунке 10, они прямо пропорциональны расстоянию от нейтрального слоя. Путем несложных но громоздких преобразований можно получить формулу для вычисления нормальных напряжений по сечению

, (3)

где J_x – осевой момент инерции сечения, равный

4. Четвертый учебный вопрос. Расчеты на прочность при изгибе

Опасное сечение определяется по эпюре изгибающих моментов. Для балок с постоянным сечением оно находится в сечении с наибольшее значение М_х.

Если материал балки пластичный, допускаемое напряжение при растяжении и сжатии одинаковы: [σ_р] = [σ_сж] = [σ]. Тогда условие прочности можно записать

(4)

Момент инерции и координату у_max объединяют в одну характеристику – осевой момент сопротивления

(5)

Условие прочности принимает простой вид:

(6)

Осевой момент сопротивления – геометрическая характеристика. Для прокатных профилей она принимается по таблицам, а для простых сечений вычисляется по формулам.

Для прямоугольного сечения со сторонами в и h (сторона в параллельна оси х)

(7)

Для круглого сечения:

(8)

Для кольцевого сечения:

(9)

Формула (6) позволяет выполнить три вида расчетов на прочность:

1) проверочный расчет (выполнение условия 6);

2) проектный расчет (определение размеров сечения балки);

3) расчет максимальной допускаемой нагрузки.

Средние части сечения нагружены значительно меньше, чем крайние, поэтому, чтобы сечение было рациональным, нужно размещать большую часть площади дальше от нейтральной оси. Если заштрихованную часть сечения (рисунок 11, а) перенести дальше от оси х (рисунок 11, б), осевой момент сопротивления, а значит и допускаемая нагрузка на балку, увеличатся в несколько раз.

Рисунок 11 – Преобразование нерационального сечения (а) в рациональное сечение (б)

При неправильном расположении двутаврового профиля № 16 допускаемая нагрузка уменьшается в 7,5 раз (рисунок 12).

Рисунок 12 – Правильное (а) и неправильное (б) расположение двутавра

Хрупкие материалы имеют высокую прочность при сжатии и низкую при растяжении. Поэтому симметричное сечение нерационально, так как при нем напряжения сжатия и растяжения одинаковы.

Необходимо сместить нейтральную ось (центр тяжести) в сторону растянутой части (рисунок 13). Нужно стремиться к выполнению условия

Если на эпюре изгибающих моментов есть сечения с разными знаками, нужна проверка двух сечений:

(10)

где у_{с max}, у_{р max} – расстояния до наиболее удаленных точек в сжатой и растянутой части сечения.

Рисунок 13 – Рациональная форма сечения для хрупкого материала

П ри изгибе в сечении кроме М_х возникает поперечная сила

Касательные напряжения в сечении на расстоянии у₁ от нейтральной оси вычисляются по формуле Журавского

В прямоугольном сечении касательные напряжения распределяются по закону параболы.

З АКЛЮЧЕНИЕ

Касательные напряжения для прокатного профиля.

В горизонтальной полке они распределяются горизонтально, вдоль полки и вычисляются по формуле

Здесь статический момент отсеченной части равен

При расчете на прочность нужно вычислить максимальные касательные напряжения в полках и в стенке швеллера и сравнить с допускаемыми напряжениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Задача. Найти угол поворота и прогиб сечения А.

Постоянные интегрирования найдем из граничных условий

Интеграл Мора

Здесь Δ_1F – перемещение в направлении единичной силы от заданной системы сил.

M_F, M₁ – уравнения моментов от заданной системы сил и от единичной силы.