0. Методи оптимізації в інвестиційному аналізі

Методи оптимізації не отримали належного поширення при розв’язанні задач фінансового аналізу, так як їх використання потребує певної математичної підготовки, а також використання комп’ютерів, оснащених відповідними пакетами прикладних програм. Разом із тим збільшені можливості персональних комп’ютерів і сучасні досягнення у сфері програмного забезпечення відкривають нові перспективи для застосування методів математичної оптимізації у фінансово-економічній сфері, роблячи їх доступними для широкого кола спеціалістів.

У широкому сенсі процес оптимізації (вироблення оптимального рішення) можна трактувати як пошук і вибір найкращого з деякої точки зору варіанту серед множини можливих або допустимих.

Математична оптимізація представляє собою процес знаходження екстремуму (максимуму або мінімуму) функції при заданих обмеженнях (умовна оптимізація) або без обмежень (безумовна оптимізація). Дослідження проблем розробки теоретичних і практичних методів розв’язання подібних завдань здійснюється в рамках спеціального наукового напрямку – математичного програмування.

На сьогодні практично всі популярні версії табличних процесорів включають вбудовані засоби розв’язання задач математичного програмування. Не є винятком і ППП Excel, що надає користувачу спеціальний засіб – Поиск решения, іменований на професійному жаргоні просто Решатель.

Решатель ППП Excel – це потужний інструмент оптимізації і розв’язання рівнянь, що володіє «дружелюбним» користувацьким інтерфейсом і дозволяє спеціалісту сформувати завдання із своєї предметної області в режимі діалогу. Зокрема, з його допомогою можна швидко та ефективно визначити найбільш оптимальний варіант використання обмежених ресурсів, він забезпечує максимізацію одних величин (наприклад, прибутку), або ж мінімізацію інших (наприклад, витрат).

Решатель дозволяє аналізувати задачі трьох типів:

• лінійні (всі залежності між змінними задачі лінійні);

• нелінійні (між змінними задачі існує хоча б одна непропорційна залежність);

• цілочисельні (результати розв’язання повинні бути цілими числами).

Говорячи «мовою» електронних таблиць, Решатель зручно використовувати у тих випадках, коли необхідно знайти оптимальне або задане значення для окремої комірки шляхом підбору значень інших комірок із врахуванням можливих і необхідних обмежень.

Таким чином, щоб використати Решатель, необхідно сформулювати задачу у термінах ППП Excel, тобто визначити у спеціальному вікні діалогу цільову комірку, змінні комірки і обмеження, якщо останні існують.

Цільова комірка (також називається цільовою функцією) – це комірка робочого столу, для якої необхідно знайти максимальне, мінімальне або задане значення. Вона повинна містити формулу, що прямо або побічно залежить від змінних комірок.

Змінні комірки (шукані змінні) – це комірки, значення яких будуть змінюватися до тих пір, поки не буде знайдено розв’язання. Як правило, вони містять ключові змінні моделі. У загальному випадку можна задати до 200 змінних комірок, які можуть містити як формули, так і посилання на блок, або несуміжні комірки. Несуміжні комірки повинні розділятися крапкою з комою.

Обмеження – це значення комірки, котре повинно знаходитися у певних межах або задовольняти цільові критерії. Обмеження можуть накладатися як на цільову, так і на змінні комірки. Для однієї моделі можуть бути визначені по два обмеження для кожної змінної комірки (верхня і нижня межі), а також до 100 додаткових. Як правило, обмеження накладаються шляхом використання операторів порівняння: <=, >=, =. Обмеження цілочисельності доцільно застосовувати у випадках, коли величина, що використовується в задачі або шуканий результат повинні приймати одне із двох значень – «Так» або «Ні», 0 або 1, або коли дробні значення результатів недопустимі (наприклад, при розрахунку числа об’єктів інвестицій, працюючих, машин, станків і т.д.).

Процедура розв’язання оптимізаційної задачі передбачає послідовне виконання ряду ітерацій. Після кожної ітерації відбувається перерахунок значень змінних комірок і перевірка заданих обмежень та критеріїв оптимальності. Виконання процедури завершується, якщо знайдено рішення з прийнятною точністю або якщо подальший пошук рішення неможливий. Останнє виникає у випадках, коли модель сформована некоректно, виконана максимально допустима кількість ітерацій або вичерпаний граничний час вирішення. Ви можете збільшити кількість виконуваних ітерацій, точність обчислень і час, відведений для пошуку рішення, шляхом коректування значень, встановлених по замовчуванні. Коректування значень виконується шляхом натискання кнопки Параметры ділового вікна Поиск решения і вказівкою необхідних величин у вікні Параметры поиска решения.

Після завершення пошуку рішення ППП Excel пропонує три варіанти продовження роботи:

• зберегти отримане рішення або відновити вихідні значення на робочому листі;

• зберегти отримане рішення у вигляді іменованого сценарію;

• проглянути один із вбудованих звітів у ході рішення.

Найпростіші можливості Решателя продемонструємо на прикладі задачі аналізу межі безпеки при оцінці значень потоку платежів інвестиційного проекту.

Аналіз межі безпеки для оцінки потоку платежів

У загальному випадку подібна задача може бути сформульована наступним чином: визначити допустиму величину помилки оцінки значень потоку платежів, при якій забезпечується беззбитковість операції (тобто нульове значення NPV).

При розв’язанні задачі будуть використовуватися дані із прикладу 2.1.

Підготуйте ЕТ відповідно до рис. 2.13. Задані для обчислення формули наведені у табл. 2.11.

Рис. 2.13. Аналіз межі безпеки (вихідна ЕТ)

Таблиця 2.11

Формули таблиці аналізу межі безпеки

Комірка	Формула
С11	=B11*(1-Ошибка)
В18	=XNpv(B3;B10:B16;A10:A16)
В19	=-B18/B10+1
В20	=МВСД(B10:B16;B3;B5)
С18	=XNpv(B3;C10:C16;A10:A16)
С19	=-C18/C10+1
С20	=МВСД(C10:C16;B3;B5)

У цій таблиці використовується лише одне користувацьке ім’я – Ошибка, визначене для комірки В6, значення якої по замовчуванню дорівнює 0. Комірки блоку С11:С16 містять значення потоку платежів, скориговані на величину помилки (базова формула для формування цього блоку задана у комірці С11 і копіюється необхідну кількість разів). Оскільки по замовчуванні величина помилки дорівнює 0, значення скоригованого потоку платежів першопочатково співпадають із вихідними. Приступимо до розв’язання задачі.

Перш за все необхідно визначити, яка комірка буде використовуватися в якості цільової. В даному випадку це повинна бути комірка, що містить формулу для обчислення NPV, тобто С18. Її величина залежить від значень потоку платежів (блоку комірок С11:С16) і в результаті розв’язання задачі повинна стати рівною 0.

Відповідно в якості змінюваної слід використовувати ту комірку, котра здійснює безпосередній вплив на значення потоку платежів, тобто комірку, що містить величину помилки – В6.

Виберіть із головного меню тему Сервис, пунк Поиск решения і заповніть поля вікна діалогу, що появилося, як показано на рис. 2.14.

Після натискання кнопки [Выполнить] на екрані появиться наступне повідомлення (рис. 2.15).

Натисніть кнопку [ОК]. Отримана в результаті таблиця буде мати вигляд, показаний на рис. 2.16.

Рис. 2.16. ЕТ з результатами рішення

Результати аналізу показують, що проект має хороший запас надійності і буде беззбитковим, навіть якщо помилка при оцінці значень потоку платежів складе 36%.

Очистивши блок комірок В3:В6 і видаливши рядки 11 – 16, ви можете отримати шаблон для аналізу подібних проблем.

Для вирішення даної задачі можна було скористатися простішим інструментом – Подбор параметра, технологія використання якого буде розглянута у темі 7.

Оптимізація портфелю інвестицій при обмеженому бюджеті

Вирішуючи проблему вибору інвестиційних проектів в умовах обмеженого бюджету із прикладу 2.4, ми використовували індекс рентабельності в якості рангу з ціллю відбору варіантів, що забезпечують максимальну рентабельність вкладених коштів. Ефективніший підхід до вирішення подібних проблем полягає у використанні методів математичного програмування і, зокрема, лінійної оптимізації.

У загальному випадку задача лінійної оптимізації формується у наступному вигляді:

, (2.7)

, (2.8)

. (2.9)

де А – матриця коефіцієнтів при змінних цільової функції; Х – вектор змінних цільової функції; С – коефіцієнти функції обмежень; В – вектор обмежень.

Технологію розв’язання задач лінійного програмування у середовищі ППП Excel розглянемо на прикладі 2.4.

Позначимо проект «А» через Х₁, проект «В» через Х₂ і т.д. (див табл. 2.4). Тоді цільова функція задачі може бути сформована у векторній формі:

. (2.10)

Визначимо обмеження для цієї задачі. За умовами інвестиційний бюджет фірми обмежений сумою у 250000 гр. од. Відповідно, сумарні початкові витрати на реалізацію проектів не можуть бути більшими за цю суму:

. (2.11)

Окрім того, ми не можемо реалізувати від’ємне число проектів, а також конкретний проект більше одного разу:

(k =1; 6) (2.12)

Реалізуємо модель (2.10) – (2.12) у середовищі ППП Excel. Підготуйте робочий лист відповідно рис. 2.17.

Рис. 2.17. Макет таблиці для лінійної оптимізації

Необхідні формули наведені у табл. 2.12.

Таблиця 2.12

Формули робочого листка

Комірка	Формула
D5	=B5*F5
E5	=C5*F5
D12	=СУММ(D5:D10)
E13	=СУММ(E5:E10)

Наведемо деякі пояснення. Блоки комірок В5:В10 і С5:С10 містять коефіцієнти при змінних цільової функції (2.10) і обмеженнях (2.11). Добуток коефіцієнтів і змінних для співвідношень (2.10) і (2.11) реалізовані формулами у блоках D5:D10 і Е5:Е10 (базові формули для формування цих блоків задані в комірках D5 і Е5, які потрібно скопіювати необхідну кількість разів). Для зберігання значень шуканих змінних відведений блок комірок F5:F10. Спочатку їх значення невідомі і передбачаються рівними 0. Співвідношення моделі (2.10) і (2.11) реалізовані формулами в комірках D12 і Е13 (цільова функція і функція обмеження відповідно).

Виберемо у головному меню ППП Excel тему Сервис, пункт Поиск решения і заповнимо вікно діалогу, що появилося вихідними даними, як показано на рис. 2.18. Для формування блоку обмежень клацніть мишкою по кнопці Добавить і заповнюйте поля вікна діалогу Добавления ограничений. Остання операція повторюється необхідну кількість разів.

Рис. 2.18. Заповнення вікна Поиск решения вихідними даними

Отримана після натискання кнопки [Выполнить] таблиця буде мати вигляд, представлений на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Результати оптимального вирішення

Із наведеного рішення випливає, що для досягнення мaксимальної величини NPV = 112000 необхідно реалізувати 0,5 проекти „Е», а також проекти «В», «С», «D».

Відзначимо, що оптимальне рішення забезпечує отримання більшої NPV порівняно з отриманою методом ранжування за індексом рентабельності.

Виконавши пошук рішення, ви можете зберегти всі значення, введені у діалогових вікнах Решателя у вигляді моделі, натиснувши в діалоговому вікні Параметры поиска решения кнопку [Сохранить модель]. Таким чином, у подальших сеансах роботи з ППП Excel вам не доведеться знову займатися постановкою задачі, щоб продовжити аналіз. Завантаження збереженої раніше моделі здійснюється натисканням кнопки [Загрузить модель] діалогового вікна Параметры поиска решения із зазначенням відповідного блоку комірок.

Ще зручніше зберігати параметри задачі у вигляді сценаріїв під певними іменами. Можливо, ви вже звернули увагу на те, що в діалоговому вікні Результаты поиска решения, наведеному на рис. 2.15, є кнопка [Сохранить сценарий]. При її натисканні активізується спеціальний інструмент ППП Excel Диспечер сценариев, який дозволяє присвоїти ім’я сценарію поточним значенням змінюваних комірок. Таким чином можна зберегти декілька сценаріїв (значень змінюваних комірок) для кожного листа робочої книги і використовувати їх у подальшому для проведення багатоваріантного аналізу виду «що буде, якщо».

Технологія проведення такого аналізу у середовищі ППП Excel з використанням інструменту Диспечер сценариев розглянута в темі 5.

ППП Excel дозволяє також провести подальше дослідження отриманого рішення з допомогою генерації звітів трьох типів:

• результати;

• стійкість;

• межі.

Генерація цих звітів здійснюється вибором мишкою необхідної позиції у списку Тип отчета діалогового вікна Результаты поиска решения і подальшого натискання кнопки [ОК]. При цьому вибраний тип звіту автоматично генерується у вигляді окремого листа робочої книги із відповідною назвою.

У звіті про результати наводяться значення цільової комірки, змінюваних комірок і обмежень. Звіт складається із трьох таблиць. Для цільової і змінюваних комірок у відповідних таблицях показуються всі вихідні і кінцеві величини. У таблицю оптимального рішення для обмежень включена інформація про стани: зв’язаний, якщо обмеження виконано повністю, і незв’язане, якщо існує резерв, величина якого показана у графі Разница.

Звіт про стійкість містить інформацію про чутливість цільової комірки (тобто отриманого рішення) до зміни параметрів його формули (ключових змінних задачі) і обмежень. Звіт містить два розділи: «Змінювані комірки» і «Обмеження». Дані про кожну змінювану комірку і комірку-обмеження виводяться на окремому рядку. Перший стовпчик містить інформацію про стійкість рішення, тобто показує, наскільки збільшиться (зменшиться) значення цільової комірки при збільшенні (зменшенні) на одиницю значення відповідної змінюваної комірки або обмеження.

Залежно від встановлюваного значення параметру Линейная модель діалогового вікна Параметры решения можуть бути отримані два варіанти цього звіту – для нелінійних задач (параметр відключений) і для лінійних (параметр включений).

У звіті про межі (обмеження) наводяться оптимальні значення кожної змінюваної комірки разом з нижніми і верхніми межами її змінювання, при яких не порушуються обмеження моделі.

Інтерпретація результатів звітів потребує знань основ математичної оптимізації і, зокрема, поняття подвійності (двойственности).

Цілочисельна оптимізація

На практиці часто зустрічаються проекти, котрі неможна реалізувати частинами. Окрім того, саме об’єкти інвестицій можуть не підлягати дробленню (наприклад, будівлі, персонал та ін.). У цих випадках доцільно скористатися цілочисельною оптимізацією.

Додамо у розроблену модель обмеження виду:

. (2.13)

Введемо це обмеження у робочий лист ( рис. 2.20).

Рис. 2.20. Додавання обмеження цілочисельності

Нове рішення задачі наведено на рис. 2.21.

Рис. 2.21. Розв’язання задачі цілочисельної оптимізації

Відповідно до отриманого рішення оптимальний портфель повинен складатися із проектів «В», «С», «D”. Сумарна величина NPV при цьому складе 106 000.

Неважко помітити, що в даному випадку результати оптимізації співпадають із рішенням, отриманим раніше по методу індексу рентабельності. Таким чином, накладення обмежень цілочисельності «погіршило» значення цільової функції. У загальному випадку введення додаткових обмежень завжди призводить до зменшення ефекту оптимізації.

Додавання обмеження цілочисельності може також значно ускладнити задачу і призвести до суттєвого збільшення часу її вирішення. Проте багато задач фінансового аналізу потребують обов’язкового задання цілочисельних обмежень. Особливо це стосується задач управління інвестиціями, в яких параметри часто приймають тільки неподільні або логічні значення – 0 або 1 (так або ні, відхилити або прийняти і т.д.).

Розглянуті приклади наглядно демонструють переваги оптимізаційного моделювання – можливість одночасного врахування більшого числа вимог, умов, обмежень, а також відносну свободу у їх перегляді у випадку необхідності.

Зокрема, якщо проекти «В» і «С» є взаємовиключаючими, достатньо додати у модель обмеження виду:

. (2.14)

Якщо ж ці проекти взаємозалежні (тобто проект «В» залежить від виконання проекту «С»), обмеження може бути задано наступним чином:

. (2.15)

Зверніть увагу на те, що у діалоговому вікні Добавления ограничений може бути вказане тільки посилання на комірку або блок. Тому перш ніж задати обмеження виду (2.14) – (2.15), їх необхідно реалізувати у вигляді формул ППП Excel. Далі у процесі формування блоку обмежень вкажіть у вікні діалогу посилання на комірку, що містить відповідну формулу.

Найбільша ефективність оптимізаційного аналізу досягається при спільному використанні інструментів Поиск решения і Диспечер сценариев. Технологія застосування останнього розглянута у темі 5.

Зазначимо також і основні недоліки, притаманні розглянутим методам кількісного аналізу довгострокових інвестиційних проектів.

Викорситання дисконтних методів для оцінки інвестиційних програм передбачає, що майбутній рух готівки відомий або може бути спрогнозований із достатньою точністю. Проте в умовах ринку, при коливаннях цін і попиту на продукцію, рух готівки можна визначити лише приблизно. Тому виникає необхідність у прогнозуванні не тільки структури грошових потоків, але й імовірності того, що запланований рух готівки здійсниться.

Друге припущення полягає у тому, що впродовж всього періоду реалізації інвестиційного проекту прийнята норма дисконту залишається незмінною. Проте з часом ситуація може змінитися і норма прибутку (вартість капіталу), яка вважалася прийнятною на початку здійснення проекту, може не виявитися такою до його завершення.

Важливим моментом при аналізі ефективності довготермінових інвестиційних проектів є також оцінка ризиків.

Розгляду цих питань будуть присвячені наступні теми.

Необхідно запам’ятати

• Аналіз ефективності довготермінових інвестиційних проектів є ключовим розділом фінансового менеджменту. Прийняті у цій сфері рішення багато в чому визначають становище фірми у майбутньому.

• Кількісні методи оцінки ефективності інвестицій можна розподілити на дві групи – статичні і динамічні. Останні також називають дисконтними, оскільки вони базуються на обчисленні теперішньої вартості (дисконтуванні) потоків платежів, що виникають у процесі реалізації проектів.

• Дисконтні методи дозволяють врахувати фактор часу в процесі реалізації інвестиційних проектів. Найчастіше використовуються з них: метод чистої теперішньої вартості (net presnt value – NPV); метод індексу рентабельності (profitability index – PI); метод внутрішньої доходності (internal rate of return – IRR, MIRR).

• У процесі аналізу слід використовувати всі три методи оцінки. Проте при аналізі взаємовиключаючих проектів використання критеріїв NPV, IRR, PI може призвести до різних результатів. У цьому випадку слід віддати перевагу методу NPV.

• Найбільш достовірним методом оцінки є метод NPV. Разом із тим його використання не завжди зручне, так як абсолютні величини важче піддаються інтерпретації.

• Найбільш популярним методом є метод IRR. До числа найсуттєвіших недоліків цього методу слід віднести: некоректність припущення про ставку реінвестування коштів (ліквідовується шляхом розрахунку критерію MIRR); можливість отримання декількох значень для нестандартних потоків платежів; можливість прийняття неправильного рішення при оцінці взаємовиключаючих проектів.

• Сучасні табличні процесори містять спеціальні функції, що дозволяють швидко та ефективно визначити основні критерії ефективності інвестицій. У ППП Excel для цих цілей слід використовувати наступні функції: ЧПС ( ), XNPV ( ) ВСД ( ), ЧИСТВНДОХ ( ), МВСД ( ).

• Застосування методів математичного програмування часто забезпечує отримання оптимальних результатів в умовах обмежених ресурсів. У ППП Excel для цих цілей слід використовувати спеціальний інструмент – Поиск решения.

• Використання табличних процесорів пр. розв’язання подібних задач дозволяє автоматизувати проведення розрахунків, а також здійснювати їх моделювання, суттєво підвищуючи ефективність аналізу і достовірність його результатів.

Питання для самоконтролю

1. Чому аналіз ефективності довгострокових інвестицій вважають ключовим розділом фінансового менеджменту?

2. Яка ознака покладена в основу класифікації показників ефективності інвестицій?

3. Назвіть відомі вам показники ефективності інвестицій. Дайте характеристику кожному показнику, наведіть формули для їх обчислення.

4. Назвіть основні фактори, що мають суттєвий вплив на показник NPV.

5. У яких випадках можлива поява декількох значень IRR?

6. Для чого необхідний аналіз показників на чутливість?

7. У яких випадках показники PI та IRR можуть протиріччити показнику NPV?

8. Який із показників ефективності інвестицій отримав найширше розповсюдження? Чому?

9. При аналізі взаємовиключаючих проектів «А» і «Б» були отримані наступні результати: IRR (A) = 15%, IRR (Б) = 12%, NPV (A) = 10 000, NPV (В) = 12 500. Норма дисконту для обох проектів однакова і дорівнює 9%. Якому проекту ви надаєте перевагу? Чому?

10. Аналіз двох незалежних проектів показав, що вони мають майже рівну NPV. Як ви поступите в цій ситуації?

11. Назвіть фінансові функції ППП Excel, призначені для аналізу ефективності довготермінових інвестицій. Наведіть їх формати і приклади завдання.

12. У чому полягають переваги використання ЕТ при аналізі ефективності інвестиційних проектів?

Задачі і вправи

1. Реалізація проекту, що передбачає витрати у розмірі 60000 гр. од., повинна дати чистий притік готівки, що має таку структуру: 10000, 15000, 15000, 20000, 15000, 10000, 5000. Визначте:

а) NPV, PI, IRR для цього проекту при нормі дисконту 10% і 15%;

б) NPV, PI, IRR за умови, що притоки готівки однакові і складають 13000 гр. од. Норми дисконту, такі як у п. а);

в) як зміняться NPV, PI, IRR, якщо останній притік готівки зростає до 10000 гр. од.; зменшиться до 2000?

2. Підприємство розглядає можливість фінансування трьох проектів, грошові потоки яких представлені у таблиці:

Період	Проект У	Проект Z	Проект W
0	–20000,00	–130000,00	–100000,00
1	15000,00	80000,00	90000,00
2	15000,00	60000,00	30000,00
3	15000,00	80000,00

Визначте:

а) NPV, PI, IRR для цих проектів при нормі дисконту 15%. Якому із проектів ви надаєте перевагу? Чому?

3. Корпорація «К» розглядає два взаємовиключаючих інвестиційних проектів. Структури грошових потоків для проектів представлені у таблиці:

Період	Проект Х	Проект S
0	–400,00	–200,00
1	241,00	131,00
2	293,00	172,00

Норми дисконту для обох проектів однакові і дорівнюють 9%. Якому із проектів ви надаєте перевагу? Чому?

4. Корпорація «Д» розглядає три інвестиційних проекти. Інвестиційний бюджет фірми обмежений і дорівнює 10,00. Структури грошових потоків для проектів представлені у таблиці:

Період	Проект У	Проект Z	Проект Н
0	-10,00	-5,00	-5,00
1	30,00	5,00	5,00
2	5,00	20,00	15,00

Прийнята норма дисконту для всіх проектів однакова і дорівнює 10%. Складіть оптимальний інвестиційний портфель.

5. Потік платежів по проекту «G» має структуру, наведену у таблиці:

Період	0	1	2	3	4	5
Платежі	-1000	100	900	100	-100	-400

Визначте внутрішню норму доходності для цього проекту з використанням функцій IRR ( ) і MIRR ( ). Поясніть отримані результати.

6. Проекти «А» і «Б» потребують однакового обсягу початкових інвестицій – 5000 гр. од. Без врахування дисконтування проект «А» генерує потік платежів, що дорівнює 12000, а проект «Б» – 10000 гр. од. Після дисконтування потоків платежів по нормі r = 10% обидва проекти мають однакову NPV.

У якого проекту величина NPV буде більше чутлива до зміни норми дисконту? Підкріпіть свої судження графічними ілюстраціями.

7. Фірма розглядає два взаємовиключаючих проекти «Т» і «С», що генерують наступні потоки платежів:

Період	0	1	2	3	4
Проект «Т»	-2000	1800	500	10	32
Проект «С»	-2000	0	550	800	1600

Вартість капіталу для фірми складає 9%.

Визначіть критерій IRR для кожного проекту. Чи можна у цьому випадку прийняти рішення, базуючись лише на критерії IRR? Який проект ви рекомендуєте прийняти? Чому?

8. Реалізація проекту «У», що передбачає витрати у розмірі 60000 гр. од., повинна дати чистий потік готівки, що має наступну структуру: 10000, 15000, 20000, 15000, 10000, 5000. Норма дисконту дорівнює 12%. Визначте межу безпеки для оцінки потоку платежів для цього проекту.

9. Фірма «ААА» розглядає пакет інвестиційних проектів, попередні результати аналізу яких наведені у таблиці:

Проект	Витрати (I)	NPV
A	22000	9000
B	16000	7000
C	12000	5500
D	10000	5000
E	8000	4500
F	7500	3500
G	7000	3000
H	4000	2500

Інвестиційний бюджет фірми обмежений і дорівнює 50000 гр. од. Використовуючи лінійне програмування, визначіть оптимальний інвестиційний портфель для фірми.

10. Припустимо, що у попередньому прикладі проекти не піддаються дробленню. Визначіть оптимальний інвестиційний портфель методом цілочисельного програмування.

11. Припустимо, що у завданні 2 проекти «Y» і «Z» – взаємовиключаючі. Використавши лінійне програмування, визначіть оптимальний інвестиційний портфель (використайте обмеження виду: , .

1 Особливо уважними необхідно бути користувачам англомовної версії ППП Excel, так як назва функції NPV ( ) тут співпадає із загальноприйнятою абревіатурою для цього показника, що може увести в оману.

2 Фігурні дужки у ППП Excel означають дані типу «масив».

3 Найкращий результат дає функція МВСД ( ).

4 Дл8я підрахунку кількості рядків зручно використовувати формулу: k = n – 2, де n – число періодів. Для даног9о прикладу число рядків, що вкладаються, буде дорівнювати: 6 – 2 = 4.