Простые и сложные проценты
В финансовых вычислениях обычно выбирается единый стандартный временной интервал (месяц или год). Вычисления ведутся дискретно с учетом предположения, что внутри данного интервала величина процента или дисконта не меняется. Существует две основные схемы наращения капитала: схема простых процентов (simple interest); схема сложных процентов (compound interest).
Схема простых процентов предполагает постоянную норму доходности в рассматриваемом периоде, в который идут начисления на вложенный капитал. Предположим, величина инвестируемого капитала равна Р, количество временных интервалов или период начисления равен n. Требуемая норма доходности r. Считается, что инвестиции совершены на условиях простого процента, если инвестируемый капитал ежегодно возрастает на сумму P * r, тогда через n - лет размер инвестируемого капитала будет равен:
.
(7)
Инвестиции сделаны на условиях сложного процента, если годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, как в случае простого процента, а с полной суммы наращенного к этому моменту капитала (с общей суммы, включающей как исходную сумму, так и не снятые к этому моменту проценты). В данном случае размер инвестируемого капитала составит к концу первого года:
,
к концу второго года
,
к концу n-года
(8)
Схема сложных процентов гораздо выгоднее для инвесторов, поскольку
(1 + r)n – это одна из базовых величин финансовой математики, называемая также факторным множителем (FM1 (r, n) = (1 + r) ^ n) или коэффициентом наращения, или коэффициентом компаундинга, или фактором наращения.
– коэффициент
дисконтирования
Для удобства финансовых расчетов значения этих величин сведены в специальные таблицы (табулирование).
Экономический смысл факторного множителя или коэффициента компаундинга: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (рубль, доллар…) в зависимости от национальной специфики через n периодов при заданной норме процента r. Схема простых процентов используется в практике финансовых расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В качестве n берется величина, характеризующая удельный вес длины периода (дней, месяцев и т.д.), в общем периоде (год).
Внутриинтервальные процентные начисления
В практике финансовых расчетов встречаются факты внутриинтервальных (внутригодовых) начислений (ежемесячные начисления). В данном случае интервал делится на равное число элементарных интервалов в его составе (подинтервалы или субинтервалы – дни в месяце, кварталы в году) и расчет ведется по формуле сложных процентов по интервалам:
,
(9)
где r – установленная процентная ставка на весь интервал;
P – накопленный капитал на начало интервала;
T – число элементарных интервалов до момента внутриинтервального начисления (например при возврате);
Tu – число элементарных интервалов в общем интервале начисления;
Fn – наращенная стоимость капитала к рассматриваемому внутри интервала моменту.
Для случая равномерных по времени начислений (например, ежемесячно, ежеквартально и пр.):
(10)
где n – количество лет (в некоторых источниках «k»);
m – количество начислений в году.
В зависимости от частоты начислений процентов наращивание исходной суммы происходит разными темпами. Причем, чем выше частота, тем быстрее возрастает накопленная сумма. Максимальная скорость наращения достигается при бесконечном дроблении годового интервала при непрерывном начислении процента в течение одного года конечная сумма:
(11)