27. Корневые оценки качества
Переходная функция замкнутой системы как реакция системы на единичный скачок по положению вычисляется в соответствии с выражением (4.11), в котором второе слагаемое в виде суммы определяет переходную составляющую
n |
KN (l |
) |
l t |
|
|
hn (t) = å |
i |
|
e i |
, |
(7.1) |
|
|
||||
i =1 li D¢(li ) |
|
|
|||
a li – различные корни характеристического уравнения замкнутой системы
D(l) = 0 .
Если Re l |
i |
< 0 , i = 1,..., n , то lim h (t) = 0 , т. е. с течением времени пере- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t ®¥ |
n |
|
||||
ходная составляющая затухает. |
|
|
|
|
||||||||
В выражении (7.1) перейдем к модулям в левой и правой частях: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
eli t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn (t) |
|
£ å ci |
, |
(7.2) |
|
где ci = |
|
KN (li ) |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
li D¢(li ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим расстояние от мнимой оси до ближайших действительного корня (рис. 7.1, а) или пары комплексно-сопряженных корней (рис. 7.1, б) на плоскости корней l через h.
Im 
Im
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jb |
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
a |
|
|
|
|
Re |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
jb |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Величину h будем называть степенью устойчивости. |
Очевидно, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||
h = min |
|
Re li |
|
. |
Так как |
|
el i t |
|
= |
|
e(Re l i )t e j (Im l i ) t |
|
= |
|
e(Re l i )t |
|
, |
то для любого |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
множителя |
|
eli t |
|
|
в (7.2) будет справедлива оценка |
|
eli t |
|
< e-ht . Таким образом, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(7.2) равносильно выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn (t) |
£ Me-ht , а M = åci . |
|
|
|
|
(7.3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
hn (t) затухает быстрее, |
|||||||||||
Из (7.3) |
|
следует, что переходная составляющая |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чем экспонента с показателем – h. Если принять время регулирования t p как время, начиная с которого hn (t) войдет в 5% трубку от некоторого начального значения, то из (7.3) получим Me-ht p = 0, 05M , откуда
t p |
£ |
ln 0,05 |
@ |
3 |
. |
(7.4) |
- h |
|
|||||
|
|
|
h |
|
||
Выражение (7.4) и соответственно величина h характеризуют предельное быстродействие системы, поэтому иногда величину h называют еще мерой быстродействия системы.
Из рассмотренного выше следует, что доминирующее влияние на характер переходного процесса оказывают ближайшие к мнимой оси корни. Если ближайшими являются комплексно-сопряженные корни l1,2 = -h ± jb, то наряду
со степенью устойчивости вводят в рассмотрение колебательность системы
(колебательность переходного процесса) m = b . Паре комплексно-сопряжен-
|
|
|
h |
|
|
ных корней в (7.1) соответствует составляющая |
|
||||
c e(-h+ jb)t + c |
e(-h- jb)t = Ae-ht sin(bt + j), |
(7.5) |
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
где c1 , c2 – комплексно-сопряженные величины; A, j – действительные вели-
чины.
Составляющая (7.5) носит колебательный характер. Период колебания
определяется величиной T = 2p . Уменьшение амплитуды в (7.5) за период Т b
æ |
2p ö |
|
2p |
||
-hç t + |
|
÷ |
- |
|
|
|
|
|
|||
ç |
÷ |
|
m , т. е. определяться величиной |
||
будет равно Ae è |
b ø = Ae-ht ×e |
|
|||
Перерегулирование в % может быть оценено по формуле:
- 2p
e m .
- |
p |
|
- |
p |
|
|
|
= 100e |
tga . |
(7.6) |
|||
s = 100e m |
|
|||||
Сувеличением m увеличивается число колебаний за время регулирования
ивозрастает перерегулирование. Величина m носит чаще качественный харак-
тер и является оценкой переходного процесса сверху, поэтому в действительности переходной процесс может иметь лучшие показатели.
Характер переходного процесса в значительной степени зависит от корней li характеристического уравнения, т. е. от полюсов передаточной функции
F(s) = KN (s) замкнутой системы. Однако на величину амплитуды переход-
D(s)
ных составляющих будут влиять и нули передаточной функции. Пусть полином N(s) имеет m нулей si , тогда N (s) = (s - s1 )...(s - sm ) и выражение (7.1)
n |
K (l |
i |
- s )...(l |
i |
- s |
m |
) |
l t |
|
примет вид hn (t) = å |
|
1 |
|
|
e i |
. |
|||
|
|
li D¢(li ) |
|
|
|
||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, если какой-то полюс li будет близок (или в идеальном случае
равен) нулю передаточной функции, то составляющая, соответствующая корню li , будет мала по амплитуде (или равна нулю).
Впервые корневые оценки качества переходных процессов для систем третьего порядка были предложены в работе И. А. Вышнеградского (1876), по-
ложившей начало развитию теории автоматического управления. |
D(l) = a l3 + |
|||||||||
Характеристическое уравнение системы третьего порядка |
||||||||||
+a l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ a l + a |
= 0 путем замены переменной приводится к виду |
|
||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q3 + Aq2 + Bq +1 = 0 , |
(7.7) |
|||
где q = l3 |
a0 |
, |
A = |
a1 |
, B = |
a2 . |
|
|||
|
|
a3 |
|
|
3 a2a |
3 |
a |
0 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|
|
Коэффициенты А, В – параметры Вышнеградского – являются комбина- |
||||||||||
цией коэффициентов ai |
и в конечном итоге зависят от реальных параметров |
|||||||||
системы. Условие асимптотической устойчивости для уравнения (7.7) несложно получить с помощью критерия Гурвица, оно имеет вид АВ > 1. В области устойчивости, ограниченной гиперболой АВ = 1 в плоскости параметров А, В, нанесем кривые, разделяющие область устойчивости на области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения (7.7).
На рис. 7.2 представлена диаграмма Вышнеградского, где для каждой области показано расположение корней и вид переходного процесса.
Таким образом, выбирая из диаграммы требуемый вид переходного процесса, можно найти необходимые значения параметров А, В или ai .
В заключение отметим ряд простых случаев, когда получены оценки степени устойчивости h и соответственно быстродействия системы. Рассмотрим систему управления стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть
передаточная |
функция объекта |
|
управления W2 (s) |
имеет вид: |
||||
W2 |
(s) = |
|
K2 |
|
, где |
T1 |
> T2 > ... > Tr . |
|
(T1s + |
1)(T2 s +1)...(Tr s +1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
пл.l |
пл.l |
пл.l |
Передаточную функцию W1(s) будем рассматривать как передаточную функцию регулятора (управляющего устройства). Рассмотрим три случая зако-
на управления: интегральный W (s) = |
K1 |
|
, пропорциональный W (s) |
= |
K |
1 |
, про- |
|||||||
|
||||||||||||||
1 |
|
s |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
порционально-интегральный W (s) = K |
0 |
+ |
. Быстродействие |
|
объекта |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
управления может быть охарактеризовано величиной |
. Доказано, |
что для |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
||
интегрального закона управления быстродействие замкнутой системы, характеризуемое величиной степени устойчивости h, не будет превосходить быст-
родействия объекта, т. е. h < 1 .
T1
Для пропорционального и пропорционально-интегрального законов управления быстродействие замкнутой системы управления может превосходить быстродействие объекта управления, но будет ограничено неравенством
h < 1 .
T2
Приведенный частный результат распространяется на более общий случай: астатические системы уступают по быстродействию системам статическим.