42. Дискретное преобразование Лапласа и его свойства

Аналогом преобразования Лапласа для непрерывных функций f(t) является дискретное преобразование Лапласа для решетчатых функций f(k).

Прямое дискретное преобразование

¥

 

F* (s) = å f (k)e-skT ,

(2.9)

k =0

обратное дискретное преобразование

 

 

c+ j

w0

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

f (k) =

ò F * (s)eskT ds .

(2.10)

 

 

jw0 c- j

 

w0

 

 

 

 

2

 

 

где F*(s) называют изображением решетчатой функции f(k), а функцию f(k) – оригиналом.

В выражениях (2.9), (2.10) s – комплексная переменная, c – абсцисса аб-

солютной сходимости, w 0= 2p – частота дискретизации.

T

В символической записи формулы (2.9), (2.10) представляют в виде:

F* (s) = D{ f (k)},

(2.11)

f (k ) = D-1

{

}

(2.12)

 

F * (s) .

Чтобы избавиться от нерациональности функции F*(s) из-за наличия множителя esT, её преобразуют в рациональную путём замены переменных по формуле

esT = z;

s =

1

ln z .

 

(2.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

¥

 

F (z ) = Z {f (k)}= F * (s )

 

s=

1

ln z

= å f (kT )z-k = å f (k )z-k ,

(2.14)

 

 

 

 

T

 

k =0

k =0

 

f (k ) = Z -1 {F * (z)}

=

1

Ñò F * (z)zk -1dz .

(2.15)

2pj

При использовании в теории дискретных систем z-преобразования следует помнить, что z-преобразование выходного сигнала линейной сиcтемы определяет значения временной функции только в момент квантования (т.е. не содержит информацию о значениях функции между моментами квантования).

Кроме того, передаточная функция непрерывной системы должна иметь количество полюсов, по крайней мере, на один большее, чем количество нулей, что в реальных системах практически всегда выполняется.

Для перехода к z-преобразованию используют специальные таблицы. Привёдем наиболее часто используемые преобразования (табл. 2.1.).

Таблица 2.1 – Преобразование Лапласа и z–преобразование

 

 

Непрерывная функция

Решетчатая функция

Оригинал

Преобразование Лапласа

Оригинал

z–преобразование

1(t)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1(kT)

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

z -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

Tz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z -1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(kT )2

 

 

 

 

T 2 z(z +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(z -1)3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

s3

 

 

 

 

2

 

 

 

e-at

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

e-akT

 

 

 

 

 

 

 

Tz

 

 

 

 

s + a

 

 

 

 

 

 

z - e-aT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – e-at

 

 

 

 

 

a

1 – e-akT

 

 

 

 

z(1- e-aT )

 

 

 

 

s(s + a)

 

 

 

 

(z -1)(z - e-aT )

 

 

sin bt

 

 

 

 

 

b

 

sin bkT

 

 

 

 

 

 

z sin bt

 

 

 

s 2

+ b2

 

z 2

- 2z cos bT +1

 

 

 

 

 

 

 

cos bt

 

 

 

 

 

s

 

cos bkT

 

 

 

z(z - cos bT )

 

 

 

s 2

+ b2

 

z 2

- 2z cos bT +1

 

 

 

 

 

 

 

Отметим основные свойства z-преобразования.

Свойство линейности

af(k) ® aF(z); f1(k) + f2(k) ® F1(z) + F2(z).

(2.16)

Теоремы сдвига (упреждения и запаздывания)

Упреждение иллюстрируется рис. 2.4. и вычисляется по формуле:

¥

¥

¥

Z{ f (k +1)} = å f (k +1)z-k =f (1)z-0

+ f (2)z-1 + ... = å f [k]z-(k -1)

= zå f (k )z-k .

k =0

k =1

k=1

Прибавив и вычтя в правой части f(0), получим

 

Z{ f (k +1)} = z[F (z) - f (0)] .

(2.17)

f (k)

f (k +1)

 

 

f(k)

 

0

1

2

3

4

5

k

Рис. 2.4. К теореме об упреждении

17

При нулевых начальных условиях f(0) = 0 и

 

Z { f (n + 1) } = zF (z )

(2.18)

При упреждении на 2 такта и нулевых начальных условиях

 

Z { f (k + 2)} = z2 F (z ) .

 

При упреждении на m тактов получают

 

Z { f (k + m)} = zm F (z ).

(2.19)

Аналогично получают формулы для вычисления запаздывания (рис. 2.5).

¥

 

Z{ f (k -1)} = å f (k -1)z-k =0 × z-0 + f (0)z-1 + f (1)z-2 +... =

 

k =0

 

¥

 

= å f (k)z-(k +1) = z-1F (z) ,

(2.20)

k =0

 

Z{ f [k - 2]} = z-2 F (z),

 

....................................

(2.21)

Z{ f [k - m]} = z-m F (z).

 

 

f (k )

 

 

f (k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (k -1)

0

1

2

3

4

5

k

Рис. 2.5. К теореме запаздывания

Изображение разностей

При нулевых начальных условиях

Z {Df (k )} = Z { f (k +1)}- Z { f (k )} = zF (z )- F (z ) = (z -1)F (z ). (2.22)

…………………………………………..

 

 

{

 

}

 

 

 

Z

 

Dm f (k) = (z -1)m F (z ).

(2.23)

Изображение сумм

 

 

суммыDFå (k) = f (k) , то изображение будет

Так как разность

от

Z {DFå (k)} = F (z) . В силу (2.22)

Z {DFå (k)} = (z -1)Z {Få (k)}

и окончательно

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

Z {Få (k)}=

F (z )

 

 

 

 

.

(2.24)

 

 

z -1

18

 

 

 

 

 

 

Для суммы m-го порядка

 

 

 

 

 

 

Z

{

F m (k) =

F (z )

.

(2.25)

 

 

å

}

(z -1)m

 

Конечное значение решетчатой функции

 

f (¥) = lim f (k) = lim(z -1)F (z) .

(2.26)

 

k ®¥

 

z®1

 

Начальное значение решетчатой функции

 

f (0) = lim f (k) = lim F (z)

 

 

 

k ®0

 

z®¥

 

Свёртка решетчатых функций

 

 

 

 

Если Z { f1(k)} = F1 (z ) и Z { f2 (k)} = F2 (z), то

F

(

z × F z = Z

ì k

f

n

1

) 2 ( )

íå

1 (

 

 

 

 

în=0

 

 

f

2

k - n

ü

= Z

ì k

f

2

(

n

f

1

k - n

ü. (2.27)

)

(

)ý

 

íå

 

 

)

(

)ý

 

 

 

þ

 

în=0

 

 

 

 

 

 

 

þ

Формула обращения

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

f (k ) =

 

 

F (z )zk -1dz =

åRe snF (z )zk -1.

(2.28)

2pj Ñò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

Интегрирование ведется по окружности радиуса R >

 

zn

 

max , где zn – по-

 

 

 

 

люсы функции F(z), а z = zn

– вычет в точке для простых полюсов

 

 

 

Re sn F (z )zk -1 = lim (z - zn )F (z )zk -1 .

(2.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z®zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула разложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Пусть F (z )=

 

A(z)

 

 

zA0 (z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(z )=

 

 

 

, корни знаменателя простые,

степень чис-

 

 

B(z )

лителя меньше степени знаменателя, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

A

(z

n

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (k) = å

0

 

 

 

znk ,

(2.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

B (zn )

 

 

 

 

 

 

где zv – корни знаменателя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Пусть F(z )=

A(z)

,

нулевого корня числителя нет, степень числителя

 

 

 

B(z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

меньше степени знаменателя, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

(zn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (k) = å

A

znk -1, k ³1.

(2.31)

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 B

(zn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

в) Пусть F(z)= A(z) степень числителя равна степени знаменателя, тогда

B(z)

разделив A(z) на B(z) получим

F (z ) = f (0) + A0 (z ) ,

B (z )

т.е. приходим к случаю б).

В общем случае (в том числе при кратных корнях) можно воспользоваться методом разложения F(z) на простые дроби.

Разложение в ряд Лорана

¥

Так как F (z ) = å f (k) z-k = f (0) + f (1) z-1 + f (2) z-2 +..., то разложив F(z)

k=0

вряд Лорана по убывающим степеням z путем деления числителя F(z) на зна-

менатель, получим F (z)= c0 + c1z -1 + c2 z -2 + .... Сравнив два ряда, имеем

f (0) = c0 , f (1) = c1, f (2) = c2 ,... .

(2.32)

Соседние файлы в папке Ответы на вопросы пофайлово + список