

42. Дискретное преобразование Лапласа и его свойства
Аналогом преобразования Лапласа для непрерывных функций f(t) является дискретное преобразование Лапласа для решетчатых функций f(k).
Прямое дискретное преобразование
¥ |
|
F* (s) = å f (k)e-skT , |
(2.9) |
k =0
обратное дискретное преобразование
|
|
c+ j |
w0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|||
f (k) = |
ò F * (s)eskT ds . |
(2.10) |
|||||
|
|||||||
|
jw0 c- j |
|
w0 |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
где F*(s) называют изображением решетчатой функции f(k), а функцию f(k) – оригиналом.
В выражениях (2.9), (2.10) s – комплексная переменная, c – абсцисса аб-
солютной сходимости, w 0= 2p – частота дискретизации.
T
В символической записи формулы (2.9), (2.10) представляют в виде:
F* (s) = D{ f (k)}, |
(2.11) |
f (k ) = D-1 |
{ |
} |
(2.12) |
|
F * (s) . |
Чтобы избавиться от нерациональности функции F*(s) из-за наличия множителя esT, её преобразуют в рациональную путём замены переменных по формуле
esT = z; |
s = |
1 |
ln z . |
|
(2.13) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
¥ |
|
|
F (z ) = Z {f (k)}= F * (s ) |
|
s= |
1 |
ln z |
= å f (kT )z-k = å f (k )z-k , |
(2.14) |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
T |
|
k =0 |
k =0 |
|
||||
f (k ) = Z -1 {F * (z)} |
= |
1 |
Ñò F * (z)zk -1dz . |
(2.15) |
|||||||
2pj |
При использовании в теории дискретных систем z-преобразования следует помнить, что z-преобразование выходного сигнала линейной сиcтемы определяет значения временной функции только в момент квантования (т.е. не содержит информацию о значениях функции между моментами квантования).
Кроме того, передаточная функция непрерывной системы должна иметь количество полюсов, по крайней мере, на один большее, чем количество нулей, что в реальных системах практически всегда выполняется.
Для перехода к z-преобразованию используют специальные таблицы. Привёдем наиболее часто используемые преобразования (табл. 2.1.).

Таблица 2.1 – Преобразование Лапласа и z–преобразование
|
|
Непрерывная функция |
Решетчатая функция |
||||||||||||||||||||||||||
Оригинал |
Преобразование Лапласа |
Оригинал |
z–преобразование |
||||||||||||||||||||||||||
1(t) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1(kT) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
z -1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
Tz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z -1)2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(kT )2 |
|
|
|
|
T 2 z(z +1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(z -1)3 |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
e-at |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e-akT |
|
|
|
|
|
|
|
Tz |
|
|||||||||
|
|
|
s + a |
|
|
|
|
|
|
z - e-aT |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 – e-at |
|
|
|
|
|
a |
1 – e-akT |
|
|
|
|
z(1- e-aT ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
s(s + a) |
|
|
|
|
(z -1)(z - e-aT ) |
|
|
||||||||||||||||||
sin bt |
|
|
|
|
|
b |
|
sin bkT |
|
|
|
|
|
|
z sin bt |
|
|||||||||||||
|
|
s 2 |
+ b2 |
|
z 2 |
- 2z cos bT +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos bt |
|
|
|
|
|
s |
|
cos bkT |
|
|
|
z(z - cos bT ) |
|
||||||||||||||||
|
|
s 2 |
+ b2 |
|
z 2 |
- 2z cos bT +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Отметим основные свойства z-преобразования.
Свойство линейности
af(k) ® aF(z); f1(k) + f2(k) ® F1(z) + F2(z). |
(2.16) |
Теоремы сдвига (упреждения и запаздывания)
Упреждение иллюстрируется рис. 2.4. и вычисляется по формуле:
¥ |
¥ |
¥ |
Z{ f (k +1)} = å f (k +1)z-k =f (1)z-0 |
+ f (2)z-1 + ... = å f [k]z-(k -1) |
= zå f (k )z-k . |
k =0 |
k =1 |
k=1 |
Прибавив и вычтя в правой части f(0), получим |
|
|
Z{ f (k +1)} = z[F (z) - f (0)] . |
(2.17) |
|
f (k) |
f (k +1) |
|
|
f(k) |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
Рис. 2.4. К теореме об упреждении
17

При нулевых начальных условиях f(0) = 0 и |
|
Z { f (n + 1) } = zF (z ) |
(2.18) |
При упреждении на 2 такта и нулевых начальных условиях |
|
Z { f (k + 2)} = z2 F (z ) . |
|
При упреждении на m тактов получают |
|
Z { f (k + m)} = zm F (z ). |
(2.19) |
Аналогично получают формулы для вычисления запаздывания (рис. 2.5). |
|
¥ |
|
Z{ f (k -1)} = å f (k -1)z-k =0 × z-0 + f (0)z-1 + f (1)z-2 +... = |
|
k =0 |
|
¥ |
|
= å f (k)z-(k +1) = z-1F (z) , |
(2.20) |
k =0 |
|
Z{ f [k - 2]} = z-2 F (z), |
|
.................................... |
(2.21) |
Z{ f [k - m]} = z-m F (z). |
|
|
f (k ) |
|
|
f (k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k -1) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
Рис. 2.5. К теореме запаздывания
Изображение разностей
При нулевых начальных условиях
Z {Df (k )} = Z { f (k +1)}- Z { f (k )} = zF (z )- F (z ) = (z -1)F (z ). (2.22)
………………………………………….. |
|
|||||
|
{ |
|
} |
|
|
|
Z |
|
Dm f (k) = (z -1)m F (z ). |
(2.23) |
|||
Изображение сумм |
|
|
суммыDFå (k) = f (k) , то изображение будет |
|||
Так как разность |
от |
|||||
Z {DFå (k)} = F (z) . В силу (2.22) |
Z {DFå (k)} = (z -1)Z {Få (k)} |
и окончательно |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z {Få (k)}= |
F (z ) |
|
||
|
|
|
. |
(2.24) |
||
|
|
z -1 |
||||
18 |
|
|
|
|
|
|

Для суммы m-го порядка |
|
|
|
|
|
|
Z |
{ |
F m (k) = |
F (z ) |
. |
(2.25) |
|
|
||||||
|
å |
} |
(z -1)m |
|
||
Конечное значение решетчатой функции |
|
|||||
f (¥) = lim f (k) = lim(z -1)F (z) . |
(2.26) |
|||||
|
k ®¥ |
|
z®1 |
|
||
Начальное значение решетчатой функции |
|
|||||
f (0) = lim f (k) = lim F (z) |
|
|||||
|
|
k ®0 |
|
z®¥ |
|
|
Свёртка решетчатых функций |
|
|
|
|
Если Z { f1(k)} = F1 (z ) и Z { f2 (k)} = F2 (z), то
F |
( |
z × F z = Z |
ì k |
f |
n |
1 |
) 2 ( ) |
íå |
1 ( |
|
|
|
|
|
în=0 |
|
|
f |
2 |
k - n |
ü |
= Z |
ì k |
f |
2 |
( |
n |
f |
1 |
k - n |
ü. (2.27) |
) |
( |
)ý |
|
íå |
|
|
) |
( |
)ý |
||||
|
|
|
þ |
|
în=0 |
|
|
|
|
|
|
|
þ |
Формула обращения
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
f (k ) = |
|
|
F (z )zk -1dz = |
åRe snF (z )zk -1. |
(2.28) |
||||||||||||||||||||
2pj Ñò |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
||||||||||||
Интегрирование ведется по окружности радиуса R > |
|
zn |
|
max , где zn – по- |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
люсы функции F(z), а z = zn |
– вычет в точке для простых полюсов |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Re sn F (z )zk -1 = lim (z - zn )F (z )zk -1 . |
(2.29) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z®zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формула разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) Пусть F (z )= |
|
A(z) |
|
|
zA0 (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B(z )= |
|
|
|
, корни знаменателя простые, |
степень чис- |
||||||||||||||||||||
|
|
B(z ) |
|||||||||||||||||||||||
лителя меньше степени знаменателя, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
A |
(z |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k) = å |
0 |
|
|
|
znk , |
(2.30) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
B (zn ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где zv – корни знаменателя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Пусть F(z )= |
A(z) |
, |
нулевого корня числителя нет, степень числителя |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
B(z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
меньше степени знаменателя, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(zn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (k) = å |
A |
znk -1, k ³1. |
(2.31) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
& |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 B |
(zn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19

в) Пусть F(z)= A(z) степень числителя равна степени знаменателя, тогда
B(z)
разделив A(z) на B(z) получим
F (z ) = f (0) + A0 (z ) ,
B (z )
т.е. приходим к случаю б).
В общем случае (в том числе при кратных корнях) можно воспользоваться методом разложения F(z) на простые дроби.
Разложение в ряд Лорана
¥
Так как F (z ) = å f (k) z-k = f (0) + f (1) z-1 + f (2) z-2 +..., то разложив F(z)
k=0
вряд Лорана по убывающим степеням z путем деления числителя F(z) на зна-
менатель, получим F (z)= c0 + c1z -1 + c2 z -2 + .... Сравнив два ряда, имеем
f (0) = c0 , f (1) = c1, f (2) = c2 ,... . |
(2.32) |