33. Передаточная и весовая матрицы
Наряду с переходной матрицей состояния при описании и исследовании линейных многомерных систем находят применение матричные аналоги обычных передаточных функций одномерных систем.
Применим к уравнениям (8.27) преобразование Лапласа, полагая x(0) = 0, тогда получим X (s) = AX (s) + BV (s) , Y (s) = CX (s) или, исключая из уравне-
ний вектор X (s) , получим |
|
Y (s) = C[sE - A]-1 BV (s) = W (s)V (s) . |
(8.38) |
Передаточной матрицей (матричной передаточной |
функцией) |
W (s) = C[sE - A]-1 B будем называть матрицу размерности p ´ m, |
связываю- |
щую изображение вектора входа V (s) и вектора выхода Y (s) . |
|
Элементами передаточной матрицы Wij (s) являются обычные скалярные передаточные функции, связывающие i - й выход Yi (s) с j - м входом V j (s)
при условии, что все остальные входы равны нулю. Передаточная функция Wij (s) есть отношение двух полиномов относительно s. Полином знаменателя
является для всех Wij (s) одним и тем же и равен det[sE - A] (степень его n), а
полиномы числителя будут степени не выше (n – 1).
В уравнении (8.33) будем полагать x(0) = 0 . Внесем матрицу С под знак интеграла и запишем это уравнение в виде
t t
y = òCF(t - t)Bv(t)dt = òw(t - t)v(t)dt . |
(8.39) |
|
0 |
0 |
|
Матрицу w(t) = CF(t)B размерностью |
p ´ m будем называть |
весовой |
матрицей (импульсной переходной матрицей).
Смысл её такой же, как и у весовой функции скалярной системы. Элементы wij (t) матрицы w(t) являются скалярными весовыми функциями. Если j–й
вход v j (t) = d(t) , а остальные входы равны нулю, то yi (t) = wij (t) . Передаточная и весовая матрицы связаны между собой преобразованием
Лапласа |
|
W (s) = L{w(t)}, w(t) = L-1{W (s)}. |
(8.40) |
Частотные характеристики системы в многомерном случае не нашли ши- |
|
рокого применения. Хотя формально сделав в W (s) замену |
s = jw , можно |
ввести аналогичные понятия и рассматривать p ´ m обычных скалярных частотных характеристик Wij ( jw) .
Если уравнения (8.27) описывают одномерную систему, то v, y Î R ,
B = col[b1,...,bn ] , C = [c1,...,cn ]. В этом случае W (s) = C[sE - A]-1 B , w(t) = CФ(t)B будут скалярными функциями.