48. Процессы в импульсных системах
Процессы в ИСАУ возникают, как и в непрерывной ситеме, либо за счет изменения внутренних координат(вариации начальных условий), либо за счет внешних воздействий (управляющих или возмущающих).
В общем случае при вычислении процессов необходимо решить разностное уравнение, описывающее динамику ИСАУ. Как известно, общее решение
y(k) = yc (k) + yв (k) ,
где yc (k ) – свободная составляющая, обусловленная ненулевыми начальными условиями, а yв (k ) – вынужденная составляющая, обусловленная внешними воздействиями.
Для вычисления этих составляющих можно воспользоваться формулами разложения z-изображений.
Пусть имеется z-изображение выходной координаты ИСАУ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (z) = Kз (z)V (z) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Kз (z) = |
K (z) |
, а V (z) = |
R(z) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Q(z) |
|
|
|
L(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свободные движения обусловлены корнями zcn , n = |
|
|
характеристиче- |
|||||||||||||||||||||||||
1, n |
||||||||||||||||||||||||||||
ского уравнения |
замкнутой системы |
Q(z) = 0 , а |
|
вынужденные |
− корнями |
|||||||||||||||||||||||
zвn , n = |
|
уравнения L(z) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
n |
zk |
|
|
Y (z) = Y (z) + Y (z) , где Y |
(z) = |
|
c |
|
|
g¾¾®y |
(k ) |
= c |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
в |
|
|
с |
|
|
å cn |
z |
- zcn |
g |
c |
|
|
|
å cn |
cn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
1 n= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (z) = |
å |
c |
|
|
g¾¾®y |
(k ) |
= c |
|
zk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в |
|
|
|
|
вn |
|
|
|
g |
в |
|
|
å |
вn |
вn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
z - zвn |
|
|
|
1 n= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициенты cсn и cвn |
определяются по формулам разложения в зави- |
|||||||||||||||||||||||||||
симости от вида Kз (z) |
и V (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В ИСАУ, как и в непрерывных системах, рассматривается переходная |
||||||||||||||||||||||||||||
функция |
hз (k) как реакция ИСАУ на ступенчатое решетчатое |
воздействие |
||||||||||||||||||||||||||
v(k) =1(k) |
|
и вводятся те же понятия: перерегулирование s , время регулирова- |
||||||||||||||||||||||||||
ния tр .
hз (k )
hу
D = 0, 05hу
0 1 |
2 |
3 |
4 k |
Рис. 2.21. Переходной процесс ИСАУ
Основные методы вычисления переходной функции:
1) аналитический (путем разложения изображения Y (z) на элементарные слагаемые и использования таблиц соответствия z-изображений и оригиналов, а также разложение Y (z) в ряд Лорана);
2) Моделирование на компьютере (например, в среде Matlab). |
|
|
|||||
Рассмотрим первый из них. |
z |
|
|
|
|
||
Если Y (z) = Kз (z)V (z) , Kз (z) = |
K (z) |
и V (z) = |
, то Y (z) = |
zK (z) |
. |
||
|
z -1 |
|
|||||
|
Q(z) |
|
(z -1)Q(z) |
||||
Это изображение соответствует первому случаю z-изображения для разложе-
ния на элементарные слгаемые. Оригинал |
y(k) = hз (k) в этом случае вычисля- |
|||||||
ется по формуле |
|
K (1) |
n |
K (zn ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
- å |
|
|
k |
||
|
hз |
(k) = |
|
|
|
|
zn . |
|
|
Q(1) |
|
& |
|
||||
|
|
|
n=1 (1 |
- zn )Q(zn ) |
||||
Первое |
слагаемое |
соответствует |
установившейся составляющей |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
( z = eTs 1=), а |
å(g) − переходной составляющей. |
Эта формула пригодна при |
||||||
n =1
простых корнях zn . При кратных корнях выражение усложняется (используются вычеты), при этом предпочтительнее разложение в ряд Лорана.
В отличие от непрерывных систем в ИСАУ можно добиться конечной длительности переходного процесса.
Если в Kз (z) в характеристическом уравнении ao zn + a1zn-1 + ... + an = 0
коэффициенты a1 = ... = an-1 = 0 , то оно сводится к виду ao zn = 0 . Тогда при порядке числителя хотя бы на один меньше порядка знаменателя
|
|
|
b zn-1 |
+ ... + b |
|
|
b |
|
-1 |
|
b |
-2 |
|
|
b |
|
|
-n |
|
|
|
|
|||||
K |
з |
(z) = |
0 |
|
n-1 |
= |
0 |
z |
|
+ |
1 |
z |
|
+... + |
n-1 |
|
z |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a zn |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сравнивая коэфиициенты |
bi |
|
в этом выражении с весами z-изображения |
||||||||||||||||||||||||
a0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
b0 |
|
||||
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в выражении |
F (z) = å f (k)z-k , |
имеем |
|
f (0) = 0 ; |
f (1) = |
;…; |
f (1) = |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
a0 |
||||
f (n) = bn-1 , т.е. импульсная переходная функция является конечным рядом, за- a0
канчивающимся за n периодов дискретизации. Значит и переходный процесс hз (k) закончится за время nk или nkT.