41. Решетчатые функции и разностные уравнения

Под решетчатыми (рис. 2.2) понимают функции дискретного аргумента, определяемые в дискретные промежутки времени kT, где k = 0, 1, 2, 3, …, а T – период дискретизации:

Значения дискретной функции в моменты t = kT называют дискретами. Употребляют и смещенные решетчатые функции f (kT ,T ) или f (k,e) , где

Рис. 2.2. Непрерывная функция – а, решетчатая функция – б, смещенная решетчатая функция – в

Надо иметь ввиду, что по непрерывной функции легко находится решетчатая. Обратная же задача, т.е. формирование по решетчатой функции непрерывной – неоднозначна, т.к. неизвестны промежуточные значения решетчатой функции.

Аналог первой производной непрерывной функции для решетчатой функции есть первая разность (разность 1-го порядка) (рис. 2.3.):

f (k)

Df (k )

Рис. 2.3. Определение разности решетчатой функции

Вторая разность представляется в следующем виде:

D2 f (k) = Df (k +1) - Df (k) = f (k + 2) - f (k +1) -{ f (k +1) - f (k)} =

= f(k + 2) – 2f(k + 1) + f(k),

n-ая разность

Выражение, связывающее решетчатую функцию и ее разности на выходе дискретного устройства и на его входе, называют уравнением в конечных разностях. Для устройства n -го порядка это уравнение в общем виде может быть записано так:

a 0Dn y(k) + a 1Dn-1 y(k) + ... + a n y(k) = b 0Dmv(k)+b 1Dm-1v(k) + ... + b mv(k), (2.7)

где m < n, y(k) – сигнал выхода, v(k) – сигнал входа устройства.

В рекуррентном виде (при переходе от конечных разностей к значениям решетчатых функций) получают разностные уравнения вида (2.8):

a0 y(k + n) + a1 y(k + n -1) + ... + an y(k) = b0v(k + m) + b1v(k + m -1) +... + bmv(k) , (2.8)