31. Каноническая форма уравнений состояния одномерной системы
Для получения уравнений состояния одномерной системы в канонической форме используется передаточная функция системы. Будем полагать, что стемаиописывается дифференциальным уравнением (8.16), которому соответ-
ствует передаточная функция W (s) = |
Y (s) |
= |
b0 sm + b1s m -1 + ... + bm |
, m < n . |
|||
|
|
||||||
V (s) |
|
a |
sn + a sn -1 |
+ ... + a |
n |
||
|
|
0 |
1 |
|
|||
Пусть характеристическое уравнение системы имеет n различных корней l1 ,..., ln , тогда передаточную функцию можно представить в виде
W (s) = b1 + ... + s - l1
Очевидно, что в этом случае Y (s)
Обозначим biV (s) = X i (s) , тогда s - li
bn |
, |
bi = (s - li )W (s) |
. (8.22) |
|
|||
s - ln |
|
|
s = li |
|
|
n |
bi |
|
= å |
|
V (s) . |
|
||
i =1 s - li |
|
|
n
(s - li ) X i (s) = biV (s) , Y (s) = å X i (s) .
i =1
Перейдем в операторных соотношениях |
к оригиналам, полагая |
L-1{X i (s)} = xi (t) . Получим x&i = li xi + bi v, y = x1 |
+ ... + xn , i =1,..., n . |
Вводя вектор состояния x = col[x1,...xn ] , запишем полученные уравнения в виде уравнений состояния
él1 x& = ê
ê 0
ë
0 ù
Oú x
l ú
n û
éb1 ù
+ ê M ú v, y = [1,...,1]x . (8.23)
êb ú ë n û
Итак, получили уравнения состояния в канонической форме с диагональной матрицей коэффициентов, где в общем случае элементы li , bi матриц мо-
гут быть и комплексными величинами.
Из (8.22) можно получить другую каноническую форму уравнений состо-
яния. Если обозначить |
V (s) |
= X i (s) , то проводя аналогичные рассуждения, |
|
||
|
s - li |
|
получим следующие уравнения состояния: |
||
él1 |
|
0 ù |
éù1 |
|
|
|
|
|
||
x& = ê |
|
|
O |
ú x + |
Mv , |
y = [b1 ,..., bn ]x . |
|
(8.24) |
||
ê |
0 |
|
ú |
1 |
|
|
|
|
|
|
ë |
|
ln û |
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим теперь |
|
случай |
кратных корней. |
Пусть характеристическое |
||||||
уравнение имеет корни l |
|
|
|
ê êú |
|
|
,..., l |
|
. |
|
1 |
кратности k, а остальные корни простые l |
k +1 |
n |
|||||||
|
|
|
|
ë ú |
|
|
|
|||
Тогда передаточную функцию можно представить в виде разложения
û
95
W (
где
В этом случае
Y (s) = b1 X1 (s)
s) = |
b1 |
+ ... + |
bk |
+ ... + |
bk +1 |
+ ... + |
bn |
, |
(s - l1 )k |
s - l1 |
s - lk +1 |
|
|||||
|
|
|
|
s - ln |
||||
b |
i |
= |
|
|
1 |
|
|
d i -1 |
[(s - l )k W |
(s)] |
|
, i = i,..., k , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(i |
- |
1)! dsi -1 |
1 |
|
|
s = l1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
bi = (s - l1 )W (s) |
s = li |
, i = k +1,..., n . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
é |
|
|
b1 |
|
|
|
|
bk |
|
|
|
bk +1 |
|
bn |
ù |
|||
Y (s) = ê |
|
|
|
+ ... + |
|
+ ... + |
+ ... + |
úV (s) , или |
||||||||||||
(s |
|
)k |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ê |
- l |
|
|
s - l1 |
|
|
s - lk +1 |
s - ln ú |
||||||||||
|
|
ë |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|||
+ ... + bk X k (s) + bk +1 X k +1 (s) + ... + bn X n (s) .
Между изображениями |
X1(s),..., X k (s) существует связь X i |
(s) = |
Xi +1(s) |
, |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s - l1 |
|
i = 1,...,k - 1. |
Полагая |
x (t) = L-1{X |
i |
(s)} и переходя к оригиналам, получим в |
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
области оригиналов: |
x&i = l1xi + xi +1, i = 1,..., k - 1; x&k = l1xk + v ; |
x&i = li xi + v, |
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i = k + 1,..., n ; |
y = å bi xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя вектор состояния x = col[x1 ,...xn ] , полученные соотношения запишем в векторно-матричной форме:
x& |
|
v |
y = [b1 ,..., bn |
]x |
|
|
|
|
(8.25) |
|
|
|
|
96 Уравнения состояния (8.25) имеют каноническую форму, основная матрица – форму Жордана. Корню кратности k соответствует клетка Жордана размерностью k ´ k . Очевидно, при наличии нескольких кратных корней будем получать соответствующие клетки Жордана для каждого корня.