32. Преобразование уравнений состояния

Пусть система описывается уравнениями состояния общего вида (8.3). Сделаем в этих уравнениях замену переменных x = Qz, где z = col [ z1 ,..., zn ] –

новый вектор состояния, Q – произвольная матрица размерностью n ´ n с постоянными коэффициентами. На матрицу Q накладывается единственное ограничение – она должна быть невырожденной (неособенной), т. е. определи-

тель этой матрицы det Q ¹ 0 . В этом случае всегда существует обратная мат-

этих условиях существует однозначная связь между векторами x и z: x = Qz ,

z= Q-1x .

Вуравнениях (8.3) сделаем замену x = Qz и с учетом того, что x& = Qz& , получим

новную матрицу системы Q-1 AQ , входа Q-1B и выхода CQ. Так как Q – произвольная матрица, то исходным уравнениям (8.3) соответствует бесчисленное количество эквивалентных уравнений состояния (8.8).

при исследовании той или иной формы уравнений состояния. Наиболее часто решается задача преобразования исходной системы (8.3) к нормальной или канонической форме уравнений состояния (8.8).

Доказано, что для произвольной матрицы А всегда существует невырожденная квадратная матрица размерностью n ´ n , которую обозначим через M и

назовем модальной, такая, что матрица M -1AM будет иметь форму Жордана. Если матрица А имеет различные собственные значения (числа) l1 ,..., ln , являющиеся корнями характеристического уравнения

то матрица M -1AM будет диагональной: M -1 AM = diag[l1,...,ln ].

Таким образом, преобразование произвольной системы уравнений (8.3) к канонической форме всегда возможно. Наиболее просто задача определения модальной матрицы решается для случая различных собственных чисел матрицы А, которые обозначим через l1 ,..., ln . Для каждого собственного числа