51. Билинейное преобразование
С помощью подстановки
1 |
+ T w |
|
2 |
æ z -1 ö |
|
||||||
z = |
|
|
2 |
|
, или w = |
осуществляется |
|||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|||
|
|
T |
|
T |
|
||||||
1 |
- |
w |
|
è z +1 |
ø |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так называемое билинейное преобразование, то есть отображение единичной окружности на z-плоскости в мнимую ось на w-плоскости. Это отображение можно пояснить следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
T |
T |
T |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
æ z -1 ö |
|
|
|
2 e jwT -1 |
|
|
2 e jwT - e jw |
|
e- jw |
|
|
|
|
2 e jw |
|
(e jw |
|
- e- jw |
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
w = |
|
|
= |
= |
2 |
2 |
|
= |
2 |
2 |
2 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
jwT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
T |
T |
T |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T è z +1 |
ø |
|
z=e jwT T e |
|
+1 |
|
|
T e jwT + e jw |
|
|
e- jw |
|
|
|
|
T |
|
e jw |
|
(e jw |
|
+ e- jw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По формуле Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin w |
|
|
2 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
j |
|
2 |
= j |
tgw |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
cos w |
T |
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ (3.5) показывает, что при w = 0 значение w = j0, а при w = |
ws |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
w |
= |
p |
|
значение |
w = j¥. |
Другими словами, интервал |
0 £ jw £ j |
ws |
на s- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
плоскости отображается в верхнюю полуокружность z-плоскости и в верхнюю половину мнимой оси w-плоскости. Тогда областью устойчивости системы на w-плоскости является ее левая половина.
Выражение (3.5) устанавливает связь между частотой w на s-плоскости и псевдочастотой ww на w-плоскости. Если jww мнимая часть переменной w , то
jw = j |
2 |
tgw |
T |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
w |
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
w |
= |
2 |
tgw |
T |
. |
|
(3.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отметим, что при малых частотах на s-плоскости, когда tg |
wT |
» |
wT |
, вы- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ражение (3.6) приводится к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
w » |
2 |
w |
T |
|
= w |
w |
= w. |
(3.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
w |
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Это справедливо при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
w < |
2p |
= |
ws |
. |
(3.8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10T |
10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, при выполнении (3.8) можно считать частоты w и ww совпадающими, а при больших частотах следует использовать псевдочастоту.