30. Нормальная форма уравнений состояния одномерной системы
Пусть динамика одномерной системы, имеющей один вход и один выход, описывается дифференциальным уравнением
a |
0 |
y(n) + a y(n -1) |
+ ... + a |
n |
y = b v(m) + b v(m -1) |
+ ... + b v, |
(8.16) |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
m |
|
||
где y, v Î R , a0 º1.
Требуется найти уравнения состояния (8.3) в нормальной форме, эквивалентные уравнению (8.16).
Задача легко решается для частного случая (8.16), если m = 0, т. е. правая часть (8.16) будет иметь вид b0v . В (8.16) сделаем замену переменных
y = x1, y(1) = x2 ,..., y(n -1) = xn . Дифференцируя последовательно каждое равенство, получим
ìïx&1 = y(1) = x2 , ïïx&2 = y(2) = x3,
í× × × × × ×× × × × × × × × ×× ×
ïïx&n-1 = xn ,
ïîxn = -an x1 - ... - a1xn + b0v,
где последнее соотношение соответствует уравнению (8.16). Полученную си-
стему с учетом |
y = x1 |
запишем в виде уравнений состояния в нормальной |
|||||
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é 0 |
1 |
× × × 0 ù |
é 0 ù |
|
|
|
x& = |
ê × |
× |
× ×× × ú x + |
ê M úv , y = [1,0,..., 0]x , |
(8.17) |
|
|
|
ê 0 |
0 |
× × × 1 ú |
ê 0 ú |
|
|
|
|
ê |
-an-1 |
ú |
ê |
ú |
|
|
|
ë-an |
× ×× -a1 û |
ëb0 |
û |
|
|
где, как обычно, |
x = col[x1,..., xn ] . |
|
|
|
|
||
Если в (8.16) m > |
0, то также можно получить уравнения состояния в |
||||||
нормальной форме. Вывести их несколько сложнее, поэтому дадим конечный результат. Для удобства будем в (8.16) полагать m = n. Очевидно, если m < n, то ряд первых коэффициентов b0 , b1,... будет равен нулю. Уравнения состояния в этом случае будут иметь следующий вид:
é 0 |
1 |
× |
× |
× |
0 |
ù |
éb1 |
ù |
|
||
ê |
× |
× |
× |
× |
× |
× |
ú |
ê |
M |
ú |
y = [1,0,...,0]x + b0v . (8.18) |
x& = ê |
0 |
0 |
× |
× |
× |
1 |
úx + ê |
úv, |
|||
ê |
ú |
ê |
M |
ú |
|
||||||
ë- an |
- an -1 |
× × × - a1 û |
ëbn û |
|
|||||||
Коэффициенты bi определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений, записанных в векторно-матричной форме:
93
é 1
êa1 êêa2
ê × êëan
×0
××
× |
× |
× |
× |
a2 |
a1 |
ù |
éb0 |
ù |
éb0 |
ù |
|
||||
ú |
êb |
ú |
êb |
ú |
|
||||
ú |
ê |
|
1 |
ú |
= ê |
1 |
ú . |
(8.19) |
|
× |
× |
||||||||
ú |
ê |
× |
ú |
ê |
× |
ú |
|
||
ú |
ê |
ú |
ê |
ú |
|
||||
1`ú |
êb |
n |
ú |
êb |
|
ú |
|
||
û |
ë |
|
û |
ë |
|
n û |
|
||
|
Из (8.19) следует, что b0 |
= b0 , a1b0 |
+ b1 = b1 , a2b0 + a1b1 + b2 = b2 ,…, от- |
|||||||||||||||||||||||||||
куда последовательно находятся b0 , b1 ,… . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Для физически реализуемых систем m < n и b0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Пример 8.5. Рассмотрим замкнутую систему управления стандартной |
|||||||||||||||||||||||||||||
структуры |
(см. |
|
рис. |
|
8.1), |
где |
|
|
|
будем |
|
полагатьW (s) = |
K1 (t1s + 1) |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T1s + 1 |
||
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W2 |
(s) = |
|
|
|
|
, f |
= 0 , K1K2 = 500 , t1 |
= 0,03 с, T1 = 0,1с, T2 = 0,006 с. |
|
|
||||||||||||||||||||
s(T2s +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Передаточная функция разомкнутой системы будет равна |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
W (s) = |
|
K1K2 (t1s + 1) |
|
|
|
= |
|
|
500(0,03s + 1) |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
s (T1s + 1)(T2s + 1) |
|
s(0,1s + 1)(0,006s + 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Найдем дифференциальное уравнение разомкнутой системы, связываю- |
|||||||||||||||||||||||||||||
щее y и e: y(3) +176,6 y(2) +1666y(1) = 25 ×103 e(1) + 0,83×106 e . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Коэффициенты |
этого |
уравнения a1 =176,6 , |
|
a2 = 1666 , a3 = 0 , |
b0 = 0 , |
||||||||||||||||||||||||
b = 0 , b = 25 ×103 , |
b |
= 0,83 ×106 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Уравнение для определения bi имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
é 1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0ù éb |
0 |
ù |
é |
0 |
|
ù |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
ú |
ê |
|
ú |
ê |
0 |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê176,6 |
|
|
|
|
|
0ú |
êb1 ú |
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
176,6 |
1 |
|
|
|
ú |
ê |
|
ú = |
ê |
25 ×10 |
3 |
ú , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ê1666 |
|
|
|
|
0ú |
êb |
2 ú |
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ê |
0 |
|
|
|
1666 |
176,6 |
|
|
|
1ú |
êb |
|
ú |
ê0,83 × 106 |
ú |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
ë |
3 û |
ë |
|
|
û |
|
|
|
|
||
откуда b |
0 |
= 0 , |
b = 0 , b |
2 |
= 25 ×103 , b |
3 |
= -3,75 ×10 |
6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, уравнения состояния разомкнутой системы в нормальной форме |
|||||||||||||||||||||||||||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
é0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
ù |
é |
|
|
|
0 |
|
|
ù |
|
y = [1, 0, 0] x . |
|
(8.20) |
||||||
|
|
|
x& = ê0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
ú x + ê |
|
25 ×103 |
|
úe , |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ê0 |
-1666 |
-176,6ú |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
6 ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
ë-3,57 ×10 |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
94