15. Аналитические методы вычисления процессов

Аналитические методы вычисления выходного сигнала замкнутой системы базируются на известных методиках решения дифференциальных уравнений. Решение (4.1) классическими методами во временной области приводит к соотношению (4.7). Зная j(t), j f (t) , внешние воздействия v(t), f(t) и интегри-

руя (4.7), можно вычислить реакцию системы y(t). Такой подход редко используется в практике теории управления, а выражение (4.7) в большей степени применяется в теоретических выкладках.

На практике решение уравнения (4.1) чаще всего осуществляют с помощью операционного исчисления на базе преобразования Лапласа, т. е. за основу принимают выражение (4.2).

Рассмотрим методику вычисления реакции системы на внешнее воздействие v(t) при нулевых начальных условиях координаты у(t) и ее производных. В этом случае связь изображений входа и выхода будет иметь вид

где в общем случае F(s) = KN (s) / D(s), N(s) и D(s) – полиномы степени m и n соответственно.

Вычисление составляющей f fв (t) , обусловленной возмущением f(t), будет аналогичным с использованием передаточной функции F f (s) .

В (4.8) изображение V(s) для большинства типовых воздействий представляет собой дробно-рациональную функцию, т. е. также является отношением некоторых полиномов относительно s. Таким образом, изображение Y(s) в этом

случае будет иметь следующий вид: Y (s) = KN (s) V (s) = M (s) , где степень по-

D(s) Q(s)

линома M(s) меньше степени полинома Q(s), которую обозначим через r и в общем случае r > n .

Вычисление оригинала y(t) по его изображению осуществляется по формулам разложения Xевисайда. Если полюса изображения Y(s), являющиеся

Если входной сигнал v(t) = 1[t], то V (s) = 1 , а изображение реакции си- s

стемы в соответствии с (4.8) примет такой вид: Y (s) = KN (s) . sD(s)

Реакция системы в этом случае будет не чем иным, как переходной функ-

цией замкнутой системы hЗ(t), которая как частный случай (4.9) будет вычисляться по выражению

где li – различные корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует отметить, что случай кратных корней при исследовании систем управления встречается сравнительно редко.

В (4.10) KN (0) D(0) характеризует так называемую установившуюся со-

n

ставляющую, а å(×) – переходную составляющую. И в общем случае в (4.9)

i=1

для произвольного процесса y(t) можно всегда выделить две составляющие: установившуюся y у (t) и переходную yn (t) . Частным случаем установившейся

составляющей является случай, соответствующий y у = const , которую будем называть статической составляющей. Для асимптотически устойчивых си-

составляющей yC (t) (4.4).

Реакция системы y(t) на входной сигнал v(t) при нулевых начальных усло-

t

виях определяется выражением y(t) = òj(t - t)v(t)d t.

0

Для вычисления установившейся составляющей можно воспользоваться выражением [1]:

t ¥

При гармоническом входном сигнале для вычисления установившейся составляющей можно использовать частотные характеристики системы. Пусть на входе системы v(t) = A0 sin w0t , тогда установившееся значение выходного

сигнала будет также гармоническим сигналом и может быть вычислено по выражению

где F( jw0 ) – значение АЧХ, a j(w0 ) = argF( jw0 ) – значение ФЧХ замкнутой системы при w = w0 .