57. Основные формы уравнений состояния импульсных систем
В общем случае динамика ИСАУ описывается уравнениями (6.6):
X (k +1) = AX (k ) + BV (k ),
Y (k ) = CX (k ).
Если матрица A представлена в форме Фробениуса
|
é |
0 |
1 |
0 |
L |
0 |
ù |
|
|
ê |
|
L |
L |
|
|
ú |
(6.13) |
A = |
ê L |
L L ú , |
||||||
ê |
0 |
0 |
0 |
L |
1 |
ú |
|
|
|
ê |
-an |
-an-1 |
-an-2 |
|
|
ú |
|
|
ë |
L -a1 û |
|
|||||
то имеем нормальную форму уравнений состояния.
Получим другую форму уравнений состояния. Пусть дискретная передаточная функция замкнутой ИСАУ имеет вид
K з (z ) = |
Y (z ) |
= |
b0 zm + b1zm-1 +L+ bm |
, |
(6.14) |
|
|
||||
V (z) |
|
a0 zn + a1zn-1 +L+ an |
|
||
где z1, z2 , …, zn – корни характеристического уравнения и m < n .
Если корни простые, то Kз (z ) можно разложить на простые дроби:
|
|
|
|
Kз (z) = |
|
b1 |
|
+ |
|
b2 |
|
+ L+ |
|
|
bn |
, |
|
(6.15) |
||
|
|
|
|
z |
|
|
z - z |
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
- z |
|
2 |
|
|
- z |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где bi = (z - zi )Kз (z ) |
|
z=z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (z) = Kз (z )V (z ) = å |
i |
|
V (z ). |
|
(6.16) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
z - zi |
|
|
|
|
|
|||
|
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
V (z ) = X i |
(z ), тогда Y (z ) = åX i (z ). |
|
|
||||||||||||||||
z - zi |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|||||
Используя |
обратное |
z -преобразование |
|
|
и |
учитывая, |
что |
|||||||||||||
xi (k +1) = Z -1 { z X i (z )}, а vi (k ) = Z -1 {Vi (z )}, перейдем к оригиналам: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ìx (k +1) = z x |
(k ) + b v(k ), |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ï 1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ï |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.17) |
|
|
|
|
|
ïíxn (k +1) = zn xn (k ) |
+ bnv(k ), |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ïy (k ) = x1 (k ) + x2 (k ) + ...+ xn (k ). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в матричном виде:
ì |
|
éz |
0 |
|
|
... |
0 ù |
éb1 |
|
|
ï |
|
ê |
1 |
z2 |
|
|
... |
ú |
ù |
|
ïïX (k |
+1) = ê |
0 |
|
|
0 ú X (k ) |
+ê ... |
úV (k ), |
|||
í |
|
ê... ... |
|
|
... |
... ú |
ê |
ú |
||
|
|
ê |
|
|
|
|
|
ú |
êb |
ú |
ï |
|
0 |
0 |
|
|
|
ë n |
û |
||
|
ë |
|
|
|
zm û |
|
|
|||
ï |
( ) |
[ |
] |
|
( |
|
) |
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|||||
ï |
k |
= 1, ... , 1 |
X |
|
k |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||||
Окончательно в компактной форме:
ìX (k +1) = ZX (k)+ BV (k),
í
îY (k) = CX (k).
(6.18)
(6.19)
Форма уравнений состояния (6.18) называется канонической. В ней основная матрица является диагональной: Z = diag [z1 z2 ... zn ].
Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, то основная матрица имеет форму Жордана.