18. Алгебраические критерии устойчивости

К алгебраическим критериям устойчивости относят те, которые позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам уравнения

(5.2). Необхо-

димым условием устойчивости линейной системы (5.1) является положительность коэффициентов характеристического уравнения (5.2), т. е.

li , i = 1,..., n , тогда полином D(l) можно пo теореме Безу представить в виде D(l) = a0 (l - l1 )...(l - ln ) . Если Re li < 0, i = 1,..., n , то произведение n сомножителей (l - li ) всегда даст полином n-й степени с положительными коэффициентами и с учетом a0 > 0 получим (5.3).

Критерий является лишь необходимым, т. е. если среди ai есть отрицательные коэффициенты, то система неустойчива; если все ai положительны,

то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом последнем случае требуется дальнейшее исследование.

Рассмотрим критерий, дающий необходимые и достаточные условия устойчивости, предложенные немецким ученым А. Гурвицем в 1895 году. Предварительно из коэффициентов уравнения (5.2) сформируем матрицу Гурвица

Алгоритм ее формирования следующий. Сначала по главной диагонали слева направо выписываем коэффициенты a1, a2 ,..., an . Далее столбцы вверх от

главной диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – с убывающими индексами. Коэффициенты с индексами больше n и меньше нуля заменяются нулями. Последний столбец матрицы имеет все нулевые коэффициенты, кроме последнего an . Обозначим через Di главные

определители матрицы Гурвица, которые выделены в (5.4) штриховыми линиями: D1 = a1 , D2 = a1a2 - a0 a3 ,..., Dn = an Dn -1 , где Dn – определитель матрицы Гурвица.

Критepий Гуpвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является при a0 > 0 положительность всех определителей

Гурвица

Для систем до 4-го порядка включительно, раскрывая определители Гурвица, можно получить следующие необходимые и достаточные условия устойчивости:

Из (5.6), (5.7) следует, что для системы первого и второго порядка необходимые условия совпадают с необходимыми и достаточными, а при n = 3 и 4, кроме необходимых условий, следует соблюдать дополнительное неравенство. При n = 5 и 6 появляются два дополнительных неравенства, при n = 7 и 8 – три и т. д. При аналитических исследованиях критерий Гурвица наиболее удобен для систем, порядок которых n £ 4 .

С помощью критерия Гурвица можно определить границы устойчивости. Если a0 и все определители Гурвица Di , кроме последнего, больше нуля, то

один нулевой корень), а при Dn -1 = 0 границу устойчивости колебательного

типа (появляются два комплексно - сопряженных корня). При этом все остальные корни являются левыми. Граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет a0 = 0 .

Одним из частных случаев критерия Гурвица является критерий ЛьенараШипара (1914), по которому для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

т. е. при соблюдении необходимых условий устойчивости требуется положительность четных или нечетных определителей Гурвица.

Вторым распространенным алгебраическим критерием устойчивости, дающим необходимые и достаточные условия устойчивости, является критерий Рауса-Гурвица. Этот критерий более удобен при анализе устойчивости с помощью ПЭВМ.

На первом этапе составляется таблица Рауса, элементы которой образуются из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы D(s) = a0 sn +a1sn-1 +L +an , в которой an ¹ 0 .

Таблица Рауса выглядит так: