Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

1я часть Читайте примечание, 1ый семестр (Лукъянец) [6060 вопросов] / Ответы на вопросы пофайлово + список / 56

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

423.03 Кб

Скачать

☆

56. Решение уравнений состояния

Рассмотрим первое матричное уравнение состояния системы (6.6):

	X (k +1) = AX (k ) + BV (k ) .		(6.7)
	Его можно решить как итерационным методом, изложенным в разд. 2.4,
так и используя z -преобразование.
	Решим уравнение первым методом. При этом надо знать X (0)		и V (k )
для всех значений k :
k = 0:	X (1) = AX (0) + BV (0);
k =1:	X (2) = AX (1)+ BV (1) = AéAX (0)+ BV (0)ù + BV (1) = A2 X (0)+ ABV (0)+ BV (1);
	ë	û
k = 2:	é 2	ù
k = 2:	X (3) = AX (2)+ BV (2) = AëA X (0)	+ ABV( 0 ) + BV (1)û + BV (2) =
M	= A3 X (0)+ A2BV (0)+ ABV (1)+ BV (2);
M
k = n -1: X (n) = An X (0)+ An-1BV (0)+ An-2BV (1)+K+ ABV (n - 2)+ BV (n -1).
Решение уравнения (6.7) в общем виде:
		n-1
	X (n) = An X (0) + åAn-1-k BV (k ).		(6.8)

k =0

Найдем решение уравнения (6.7), используя z-преобразование. Для этого представим (6.7) в развернутом виде:

ìïx1 (k +1) = a11x1 (k )

ïîxn (k +1) = an1x1 (k )

+K+

a1n xn (k ) + b11v1 (k ) +K+ b1mvm (k ), ann xn (k ) + bn1v1 (k ) +K+ bnmvm (k ).

Применим к последним уравнениям z-преобразование:

ìz éX1		(z) - x1	(0)ù = a11 X	1 (z ) +L+ a1n X n (z ) + b11V1 (z ) +L+ b1mVm (z ),
ï	ë		û		M
í					M
ïz éX n (z ) - xn (0)ù = an1 X					1 (z ) +L+ ann X n (z ) + bn1V1 (z ) +L+ bnmVm (z ).
î	ë		û

В векторно-матричной форме эти уравнения будут:

	z éX (z ) - X (0)ù = AX (z ) + BV (z ) ,
	ë	û
откуда	X (z ) = z[zE - A]-1 X (0) + [zE - A]-1 BV (z ),		(6.9)

где E − единичная диагональная матрица diag [1 1L1].

Применяя к (6.9) обратное z-преобразование, получим решение в виде:

					n-1
X (n) = F(n) X (0) + åF(n -1 - k )BV (k ).										(6.10)
					k =0
Из сравнения (6.10) и (6.8) вытекает, что
F(n) = Z -1 {z[zE - A]-1}= An ,										(6.11)
F	(	n -1 - k	)	= Z -1	[	zE - A	-1		= An-1-k .	(6.11)
F		n -1 - k		= Z -1		zE - A	-1		= An-1-k .
							]	}
					{			}

Рассматривая дискретную систему с одним входом и одним выходом, можно получить передаточную функцию системы по матрицам.

Если начальные условия нулевые (т. е. X (0) = 0 ), то из (6.9) следует:

X (z ) = [zE - A]-1 BV (z ).

Подставив это значение в z -изображение второго уравнения (6.5), полу-

чим:

Y (z ) = CX (z ) = C[zE - A]-1 BV (z ) ,

откуда

	Y (z )	-1
K (z ) =		= C [zE - A]	B .	(6.12)
	V (z )

Пример 6.1. Пусть передаточная функция дискретной системы

K (z) =

Y (z)

V (z) z2 - 5z + 6

Изобразим модель в пространстве состояний (рис. 6.3).

y(k )

v(k )

x2(k)

x1 (k )

-5

Рис. 6.3. Схема модели

Уравнения состояния в развернутом виде:

ìïx1 (k +1) = x2 (k ),

íx2 (k +1) = -6x1(k) + 5x2 (k) + v(k), ïîy(k) = x2 (k);

в векторно-матричной форме:

ì	é	0	1ù	é0ùv(k),
ïX (k +1)	= ê		ú X (k) +	é0ùv(k),
í	ë-6		5û	ê	ú
í	ë-6		5û	ë1	û

ïîy(k) = [0 1]X (k).

Решим уравнения итерационным методом,

полагая что X (0) = 0; v(k) =1

при k = 0, 1, 2, ... ;

y(0) = 0.

X (1) = AX (0) +

Bv(0) =

é 0

1ùé0ù + é0ù1 =

é0ù

y(1) =

[

é0ù =1;

úê ú ê ú

ê ú

]ê ú

ë-6 5ûë0û ë1û

ë1û

ë1

X (2) = AX (1) + Bv(1) =

é 0 1ù é0ù é0ù

é1ù

y(2) = [0

é1ù

= 6;

ú ê

ú + ê

ú1 = ê ú

1]ê

-6 5û ë1û ë1

ë6û

é 0 1ù é1ù é0ù

é 6 ù

= 25;

X (3) = AX (2) + Bv(2) = ê

ú ê

+ ê ú1 = ê

ú,

y(3) = [0 1]ê

ë-6 5û ë6û ë1û

25û

ë25û

Решим

эти

уравнения

использованием

z –преобразования.

[zE - A]=êéz

-1 úù;

zE - A

= z2 - 5z + 6,

корни уравнения z2 - 5z + 6 = 0

будут:

ë6

z -5û

éz - 5

1ù

z1 = 2 , z2 = 3 , тогда

[zE - A]

1 =

[zE

- A]пр =

ú, где

zE -

- 5z + 6

[zE - A]пр - матрица, присоединенная

ë -6 z

относительно матрицы [zE - A].

X (z) = [zE - A]-1 BV (z). Так как V (z) =

, то

-1

éz - 5

1ù é0ù

é1ù

(z -1)(z2 - 5z + 6)

X (z) =

ú ê ú

= ê

ú,

-6

- 5z + 6

- 5z + 6 ë

û ë1û z -1 z

ëz

û z -1 ê

(z -1)(z

- 5z + 6)

[

(z -1)(z2 - 5z +

Y (z) = CX (z) =

0 1

]ê

(z -1)(z - 2)(z - 3)

(z -1)(z

- 5z +

Разложим выражение

Y (z)

на простые дроби.

-1)(z - 2)(z - 3)

(z -1)(z -

z -

2)(z - 3)

z -1

2 z -

где

b =

(z -1)z

;

(z - 2)z

= -2;

(z -1)(z - 2)(z - 3)

z =1

z=2

b3 =

(z - 3)z

=1,5.

(z -

1)(z - 2)(z - 3)

z=3

Тогда Y (z) =

0,5z

1,5z

и по таблице соответствия изображений и

z -1 z - 2 z - 3

-2(2)k

+1,5(3)k ,

оригиналов

получим, что

y(k) = 0,5

откуда следует,

что

y(0) = 0; y(1)

=1;

y(2) = 6; y(3)

= Результаты обоих методов совпали.

Наконец получим дискретную передаточную функцию по формуле (6.12).

é z - 5

éz - 5

1ù

-1

Запишем [zE - A]

= ê

- 5z + 6

-6 z

é z - 5

K (z) = C [zE - A]-1 B = [0 1]êê D ê - 6 êë D

1 ù

D ú é0ù = é- 6 z úú êë1úû êë D

D ûú

соответствует исходной передаточной функции.

1 ù

D úú, где D = z2 - 5z + 6. z ú

D ûú

z ù é0ù		=	z	=			z	, что
	ú ê ú
			D		z	2	- 5z + 6
D û ë1û

Соседние файлы в папке Ответы на вопросы пофайлово + список

#
15.06.2014201.67 Кб2451.pdf
#
15.06.2014184.66 Кб2452.pdf
#
15.06.2014270.11 Кб2553.pdf
#
15.06.2014239.97 Кб2454.pdf
#
15.06.2014229.55 Кб2355.pdf
#
15.06.2014423.03 Кб2456.pdf
#
15.06.2014260.34 Кб2557.pdf
#
15.06.2014231.35 Кб2458.pdf
#
15.06.2014237.78 Кб2659.pdf
#
15.06.2014230.29 Кб2560.pdf
#
15.06.201453.75 Кб26questinos.pdf