45. Частотные свойства дискретного преобразования

Дискретное преобразование (преобразование со звездочкой) представляют и в других формах.

Полезно следующие представление:

где ws = 2p / T – частота квантования в рад./с.

Отметим основные свойства этого преобразования.

1. F*(s) – периодическая функция переменной s с периодом jws, т. е.

скольку e-j2pk = cos 2kp – jsin 2kp = 1.

¥ ¥

Значит, F* (s + jws ) = å f (kT )e-kTse- jkT ws = å f (kT )e-kTs = F * (s), что и тре-

k =0 k =0

бовалось доказать.

2. Если функция F (s) имеет полюс s = s1, то F*(s) имеет полюсы s = s1 + jmws, где m = 0, ±1, ±2, …

Положение нулей F*(s)также обладает периодичностью с периодом jws (рис. 2.10). На рисунке нули обозначены кружками, а полюсы – крестиками. Из рисунка видно, что нули и полюсы присутствуют в основной и дополнительной полосах бесконечное число раз. От этого недостатка можно избавиться за-

меной esT = z, тогда отрезок мнимой оси плоскости s от - ws до ws перейдет в

2 2

окружность единичного радиуса на плоскости z (рис. 2.11).