53. Критерий Найквиста
Для дискретных систем также применим критерий Найквиста, как и для непрерывных систем. Различие в построении АФЧХ разомкнутой системы обусловлено переменной и диапазоном ее изменения для каждого типа модели (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Передаточная функция разомкнутой системы
K(s) K(z) K(w)
Переменная |
Диапазон изменения |
|
переменной |
||
|
||
s = jw |
0 £ jw £ j¥ |
|
z = e jwT |
0 £ wT £ p |
|
w = jww |
0 £ jww £ j¥ |
АФЧХ K(jww) и K(jw) совпадают (рис. 3.4).
K (e jwT ) имеет такой же вид, но заканчивается не в начале координат, а на
вещественной оси, так как конечная точка соответствует частоте w = ws , при
2
которой коэффициент усиления разомкнутой системы не равен нулю (рис. 3.5). Дискретная система устойчива, если K(jww) или K (e не охватывают точку –1; j0. Запасы устойчивости находятся так же, как и в случае непрерывной системы: по модулю 1 a , по фазе -Dj .
|
|
Im |
|
Im |
|
|
K ( jww ) |
|
K (e jwT ) |
-1 |
|
0 |
-1 |
0 |
|
w |
Re |
a |
Re |
|
|
Dj |
|
|
|
|
|
|
w
Рис. 3.4. АФЧХ K ( jw) и K ( jww ) |
Рис. 3.5. АФЧХ K(ejwT) |
3.5. Логарифмический критерий Найквиста
Частотные характеристики дискретных систем после перехода от реальной частоты w к псевдочастоте ww в соответствии с (3.6) строят по методике построения аналогичных характеристик непрерывных систем. Логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и
высокочастотную, служит частота среза wc в предположении, что wc < T2 . Это
условие необходимо выполнять вследствие требований, предъявляемых к обеспечению запасов устойчивости и точности работы системы.
Рассмотрим методику построения ЛЧХ на примере системы, включающей в себя непрерывную часть с обобщенной передаточной функцией вида:
|
m |
(1 + tj s ) |
|
||
KНЧ (s ) = |
K Õ |
|
|||
j=1 |
|
|
. |
(3.10) |
|
n |
(1 |
|
|||
|
sn Õ |
+ T s) |
|
||
|
|
|
i |
|
|
i=1
При построении допускаются следующие предположения.
1. Как уже отмечалось, wc < 2 .
T
2.Переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне -20 дБ/дек.
3.Постоянным времени tj ( j =1, 2, K, m) соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.
4.Имеется l (l < n) постоянных времени Ti (i =1, 2, K, l ), которым соот-
ветствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.
При принятых допущениях для области низких частот передаточную функцию непрерывной части можно представить в виде:
|
|
|
m |
(1 + t j s) |
|
|
|
KНЧН (s ) = |
|
K Õ |
|
|
|
||
|
j=1 |
|
|
|
, |
||
|
l |
1 + T s |
) |
||||
|
|
sn Õ( |
|
||||
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а для области высоких частот |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
wc |
|
|
|
K |
НЧ (s) = |
|
|
|
|
. |
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
s Õ ( 1 + Ti s) |
||||
i=l +1
(3.11)
(3.12)
По выражениям (3.11) и (3.12) на основании (3.6) получим частотные характеристики разомкнутой импульсной системы для области низких частот:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Н |
æ |
|
|
T |
ö |
|
|
K Õ(1 + jwwt j ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|||||
KНЧ ( jww ) = ç1 |
- jww |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
l |
( 1 |
+ jw |
|
T ) |
|||||||
|
è |
|
|
ø (jw |
w |
)n Õ |
w |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и для области высоких частот: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
æ |
- jww |
T ö |
é |
|
|
|
|
|
ù |
|
|||
|
|
wc |
ç1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ë1 |
+ jww (T / 2 -Tå )û |
|||||||||||||
K В ( jw ) = |
|
è |
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
( jww )(1+ jwwT / 2) |
|
|
||||||||||||
НЧ |
w |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n
где Tå = åTi .
i=l +1
(3.13)
(3.14)
Анализ этих выражений показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция импульсной системы может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой s = jww и умножением на дополнительный множитель (1 – jwwT / 2). Псевдочастота ww в этой области практически совпадает с угловой частотой w. Влиянием дополнительного множителя при построении частотной характеристики в низкочастотной области можно пренебречь, так как wc < 2
T .
В области низких частот частотная характеристика импульсной системы совпадает с частотной характеристикой ее непрерывной части. В высокочастотной же области этого совпадения нет и построение надо выполнять по псевдочастоте ww.
Выражение частотной передаточной функции разомкнутой дискретной системы в плоскости псевдочастоты:
|
m |
+ jww (T |
ù |
|
|
|
|
é |
(1 |
- jw T / 2) |
|
||
K ( jww ) = |
K P (1 + jwwtj )ë1 |
/ 2 -Tå )û |
|
|||
j=1 |
|
|
|
w |
. (3.15) |
|
|
|
|
(1 |
+ jwwT / 2) |
||
n l |
|
|
||||
|
( jww ) P( |
1 + jwwTi ) |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
Это выражение представляет собой произведение элементарных типовых сомножителей, поэтому его легко использовать для построения логарифмических частотных характеристик импульсных систем. Результирующий фазовый сдвиг определяется так:
j(ww )= - n ×90 |
° |
m |
æ T |
ö |
l |
T |
. (3.16) |
|
|
+å arctg wwtj |
+ arctg ww ç |
|
- Tå ÷ |
- åarctgwwTi -2arctg ww |
|
||
|
2 |
2 |
||||||
|
|
j =1 |
è |
ø |
i=1 |
|
||
По построенным логарифмическим частотным характеристикам находят запасы устойчивости.