52. Критерий Рауса-Гурвица
Для замкнутой дискретной системы необходимо получить характеристическое уравнение, применив билинейное преобразование:
1 + K (w) = 1 + K (z ) 1+T w
z = 2 1-T2 w
= 0 . |
(3.9) |
Далее составляется таблица Рауса по такому же алгоритму, как и для непрерывных систем. Дискретная система устойчива, если при a0 > 0 положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса.
Пример 3.2. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 3.3. Характеристическое уравнение замкнутой системы D(z) = z -1+ KT =0. Перейдем к D(w).
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
T |
w |
|
|
|
w(2T -T 2K ) + 2KT |
|
|
|
D(w) = D(z) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
+ (KT -1) = |
= 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1+ |
T |
w |
1 - |
T |
w |
|
|
2 - Tw |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z= T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
2 |
w |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Характеристическое уравнение запишем в виде (2T - T |
2 K )w + 2KT = 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14444244443 |
{ |
||||
Составим таблицу Рауса: |
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
a1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w' |
|
2T -T 2 K |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w0 |
|
2KT |
|
|
|
||
Для устойчивости дискретной системы необходимо, чтобы знак всех элементов первого столбца (а он единственный в данном примере) был одинаковый. Отсюда 2KT > 0 , при T > 0 и K > 0 ; 2T - T 2 K > 0 при TK < 2 . Этот результат согласуется с результатом примера 3.1.
Рассмотренные примеры показывают, что квантование приводит к сужению области устойчивости дискретных систем по сравнению с аналогичными (имеющими одинаковые непрерывные части) непрерывными системами. В непрерывной системе первого порядка устойчивость обеспечивается при всех положительных коэффициентах характеристического уравнения, а в дискретной – накладывается жесткое ограничение (TK < 2).