3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
50. Условия устойчивости
Решение разностного уравнения
(a0 zn + a1zn-1 +... + an )Y (z) = (b0 zm + b1zm-1 + ... + bm )V (z) ,
описывающего динамику замкнутой системы, состоит из двух частей:
y(k) = yсв (k) + yв (k) , |
(3.1) |
где первая часть определяет свободное движение, |
а вторая – вынужденное |
движение. |
|
При оценке устойчивости ИСАУ, как и в непрерывной системе, исследуется свободное движение. Оно может быть найдено при решении однородного
разностного уравнения (без правой части) |
|
a0zn + a1zn-1 + … +an = 0, |
(3.2) |
называемого характеристическим уравнением замкнутой ИСАУ. Это же уравнение можно получить и по передаточной функции замкнутой системы Kз (z) , приравняв нулю ее знаменатель:
1 + K(z) = 0. |
(3.3) |
Решение уравнения (3.2) ищется в виде:
n
yсв (k ) = åci zik ,
i=0
где ci – постоянные коэффициенты, а zi – корни характеристического уравнения.
Очевидно, что для устойчивости ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы
lim yсв (k) = 0 . А это возможно, когда все корни характеристического уравне-
k®¥
ния zi будут по модулю меньше единицы. Таким образом, условием устойчивости является соотношение:
| zi | < 1. |
(3.4) |
Графически это условие можно интерпретировать, преобразовав s-плоскость в z-плоскость. Так как z = esT, то положив s = jw, что соответствует мнимой оси, получим z = ejwT, что является окружностью единичного радиуса
(рис. 3.1).
Im |
s |
Im |
|
z |
|
0 |
|
0 |
|
Re |
1 Re |
Рис.3.1. Отображение s-плоскости в z-плоскость
Если s = c + jw, то z = esT = ecTejwT и при c ®− ¥ переменная z ® 0. Это означает, что левая полуплоскость s-плоскости отображается внутри круга единичного радиуса z-плоскости, а правая полуплоскость s-плоскости – вне круга. Соответствие s-плоскости, z-плоскости и временных характеристик при различных случаях корней характеристического уравнения изображено на рис. 3.2.
Следовательно, для устойчивости ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы находились внутри круга единичного радиуса.
|
Im |
s |
|
Im |
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Re . |
|
|
Re |
. |
|
t |
0 |
|
. |
0 |
|
1 |
. |
0 |
|
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
s |
|
Im |
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Re . |
|
|
Re |
. |
|
t |
0 |
|
. |
0 |
|
1 |
. |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Im |
s |
|
Im z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Re . |
|
|
Re |
. |
|
|
0 |
|
. |
0 |
|
1 |
. |
0 |
t |
|
Im |
s |
|
Im |
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Re . |
|
|
Re |
. |
|
t |
0 |
|
. |
0 |
|
1 |
. |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 3.2. Соответствие корней характеристического уравнения s-плоскости, z-плоскости и временных характеристик